watermark 1-20

ריקי טל

יואל גבע

מתמטיקה שאלון 035801 3 יחידות לימוד

יים  ים חיצו  בח  יים ול  ספר תיכו

לתלמידי בתי -

מתמטיקה שאלון 035801

עריכה מקצועית ועיצוב : אולג בקר ייעוץ פדגוגי: סטלה חודד ובט ייעוץ מדעי: ד"ר עפרה קסלר עריכה בל גיל  ית: ע  לשו הפקת שרטוטים, עיצוב כריכה: mydesignshop.co.il

הדפסה: דפוס אייל

ה  מהדורה ראשו

© 2014 , כל הזכויות שמורות להוצאת "יואל גבע" ולמחברים. חל איסור מוחלט לתרגם, להעתיק או לשכפל ספר זה י, אופטי  ו, בשום צורה ובשום אמצעי אלקטרו  או קטעים ממ י  )לרבות צילום או הקלטה(, ללא אישור בכתב מאת הוצאת "יואל גבע".

או מכ

הוצאת הספרים "יואל גבע" סקי  רחוב ז'בוטי 106 , תל אביב 6121302 טלפון: 03-7187866 ט:  טר  ו באי  כתובת www.geva.co.il // http:

ספר זה מוקדש לזכרו ך והמורה  של המח חיים הלד ז"ל

תודות

חובה נעימה לנו להודות לכל אלו שסייעו במלאכת הכ נת הספר. תודה רבה לאולג בקר, אשר עבד ימים ו לילות בהקלדה ו ב עימוד הספר וסייע בעצות טובות בתחום התוכן. תודה לדן מיכמן על השרטוטים הנאים והמדוי , קים תודה לאיה קוטסי על העזרה המסורה בהקלדת הספר. תודה למור ה סטלה חודד ט וב על הייעוץ הפדגוגי שתרם רבות לאיכותו של ה תודה ל צוות ההוצאה לאור על עבודתן המסורה, ותודה לכל תלמידינו , שבשאלותיהם ו ב הערותיהם הופכים אותנו למורים טובים יותר.

ספר.

יואל גבע ריקי טל

הסבר למורה ולתלמיד זהו ספר נוסף בסדרת ספרי המתמטיקה של הוצאת הספרים "יואל גבע" המת אים לתכנית הה יבחנות החדשה . הספר מכיל את כל החומר הדרוש למורה ולתלמיד לצורך לימוד החומר לשאלון 035801 . הספר מותאם לשני ה שינויים המרכזיים בתוכנית הלימודים ובמ בנה המבחנים: א. הורדת המיקוד. ב. הוספת תרגילים שלא מן המאגר )עד 2 תרגילים(. עקב שינויים אלה ש מנו דגש תשתית הוראה רציפה ומדורגת, תוך שילוב תרגילי מאגר ותרגילים שלא מן המאגר יחסית למשקלם במבחן. הספר מחולק לשני חלקים מרכזיים, פרקי לימוד ופרקי חזרה. בפרקי הלימוד מופיעים הסברים מפורטים לפני כל נושא , ובתוך הנושא משולבות דוגמ ות רבות א כד י להקל ע ל הלומדים את הבנת החומר . השאלות והתרגילים מדורגים מהקל אל הכבד, כל ו שאלות המאגר משולבות בספר במקומות ה מתאימים בהתאם לדרגת הקושי שלהן . שאלות המאגר ה משולבות בספר, מסומנות ב - לנוחיות המשתמשים . בחלק זה שמנו דגש על הקניית יסודות ב כל נושא כדי לאפשר לתלמיד לענות על כל סוגי השאלות: מן המאגר ושלא מן המאגר.

על בניית

הם תרגילים שקיים עבורם פתרון

ים בספר ב  תרגילים שמסומ - בסרטון וידאו באתר my.geva.co.il

פרקי החזרה מאורגנים לפי שני חתכים : א. חזרה על - פי נושאים , כאשר בכל נושא מדורגות שאלות המאגר מהקל אל הכבד בש ינויי מספרים . לשאלות אלו הוספנו שאלות שלא מן המאגר. בפרק זה ניתן להשתמש גם במהלך השנה לקראת ה לבחינה נושא ב

כנה

וכן כחומר חזרה לפני בחינת הבגרות.

הנדרש,

ב. 37

הכוללים את בחינות הבגרות שניתנו עד היום בת

כנית

מבחנים

ההיב חנות החדשה. במבחנים משולבות גם שאלות שלא מן המאגר. השילוב בין שתי צורות חזרה: לפי נושאים ולפי מבחנים מאפשר הכנה יסודית ומעמיקה לקראת בחינ ת הבגרות . בכתיבת ספר זה הבאנו בחשבון את קהל היעד וצרכיו מצד אחד, ואת המגמה של הפיקוח להוראת המתמטיקה לה ותעל את רמת הדרישות, מצד שני. לכן, הבאנו מגוון תרגילים הכוללים אוריינות , והקפדנו שבכל נושא המדרג מן הקל אל הכבד יהיה מתון מאוד. בכל אחד מהנושאים ימצאו הלומדים שאלות המכינות את הלומד בטרם יגיע אל "לב הנושא", וכך גם התלמידים המתקשים בלימוד מתמטיקה יוכלו לטפס מ עלה, צעד צעד. נודה לכל מורה ותלמיד שימצאו לנכון להעיר ולהאיר, להציע הצעות - ויסייעו לנו בזאת לשפר את הספר במהדורותיו הבאות. בכוונותינו לפרסם עדכונים, תיקונים ושינויים באתר האינטרנט שלנו: www.geva.co.il

ים  יי  תוכן ע

ה  משוואות ממעלה ראשו משווא ות יסודיות עם נעלם אחד .............. ........ .... ......... .............. ... משוואות עם סוגריים .............. ....... .... . ......................................... משוואת עם שברים )המכנה הוא מספר( ........ .... ........................ . ...... משוואות עם מכני ם שבהם מופיע x ......................... .. ..................... משוואות בהן יש לפרק את המכנה לגורמים. .................................... . מערכת משוואות – שיטת השוואת המקדמים .................................... מערכת משוואות ש – יטת ההצבה ................................................ .... מערכת של משוואות מורכבות .................................... ......... ... ........ מערכת משוואות עם שברים. .. .................................................. ...... פעולת ה העלאה בריבוע....... ............................................... .... ...... . פעולת השורש הריבועי....... .............................. ............................. פתרון המשוואה הריבועית........... ...................................... . .......... . משו ואות ריבועיות חסרות........... ................................... ..... ... ....... משוואות ריבועיות לא מסודרות..... ............................................ . ... משוואות ריבועיות עם סוגריים...................................................... שימוש בנו סחאות הכפל המקוצר לפתרון משוואות ריבועיות .. ............. משוואות ריבועיות עם שברים. ................................................. . ..... משוואות ש אחד הפתרונות בהן נפסל....................... ................... .. ... משוואות ריבועיות בשני נעלמים....... ...................... .................. . ... .. משוואות ממעלה שלישית ומעלה. ................................................ ... וסחה  ושא ה  וי  שי שינוי נושא הנוסחה – יסודות. ......................... ........................... . ... נוסחאות מציאותיות...... .... ...................... ............................... ..... בעיות מילוליות בעיות כלליות עם מספרים ...................................................... . ...... בעיות קנייה עם נעלמים.. ..................................... ................ ..... .... ות בעי כלליות באחוזים. .......................................................... . ..... ייה  משוואות ממעלה ש

1

6 10 14 18 20 24

28 30

32 33 35 42 38 46 49 53 55 57 43

61 66

79 82 90

101 110 115

התייקרויות והוזלות באחוזים.... ................. .............................. . ... . שתי התייקרויות / הוזלות.............. ................. .............. . ......... ...... מצ יאת אחוז ההוזלה / הה תייקרות........ ...................... . ..................

ית  סדרה חשבו

הגדרת הסדרה החשבונית. .................... .............................. .... .. ..... האיבר הכללי n a ............... .................... ................. ........... ....... ... מציאת האיבר הראשון והפרש הסדרה... .................................... . ..... מציאת מספר האיברים......... ............................................... . ........ האיבר הכללי – שני נעלמים... ................. . ......... ..................... . ....... בעיות שונות – איבר כללי......... ............. .............. .... . .......... ..... ...... תכונת הסדרה החשבונית ............... ........ ........ ................... .... . ....... סדרה לפי מקום............ .................. ............ ..... ............ ... ... ......... סכום סדרה חשבונית................... ......................... ........................ מציאת האיבר הראשון והפרש הסדרה. ........................ . ........... . ....... מציאת מספר האיברים n . ............ .............. .......... . ........... .... .... .... בעיות שונות..................... ..................................... ...... .......... ... ... בעיות מציאותיות........................... ...................................... . ...... ..... . ............. אורכי קטעים ושטחים.................................................................. ישר ים מקבילים לצירים. ........................................................ ....... שטח משולש.............................................................................. . שטח מלבן.................................................................................. שטח טרפז .......................................................... ........................ הישר................................ .................... ............ .............. . .......... מציאת נקודות על הישר.... ....................... ......................... ... .. ..... .. התיאור הגרפי של הישר.......... ................... ....... .................... . ....... נקודות חיתוך של ישר עם הצירים ....................... ................... .... ... .. מציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים... ..... ............................... ... . ..... פרבולה.......... ................. ....................... .................... . .......... .. ... נקודות חיתוך של פרבולה עם הצירים .. ............ .. ............ . ................. קדקוד הפרבולה............................. ............................................. שרטוט פרבולה.............................. ...... ........................................ גרפים של ישרים ופרבולות מערכת צירים...... ...................... ...............................

120 123 126 128 137 139 140 143 150 152 145 156 130 167 170 173 175 177 179 181 182 184 187 189 191 194 198 200

224 225 228 233 237 243 250 252 262 203 205 220 207 209 213

נקודות חיתוך בין פרבולה וישר...................................................... נקודות חיתוך בין שתי פרבולות..................................................... מינימום ומקסימום של פרבולה .................. ................................... תחומי עלייה וירידה של פרבולה .................................................... חיוביות ושליליות של פרבולה .................................................. .... .. משפט פיתגורס ...................................... ........................... ..... .... גיאומטריה ליטית  א הקו הישר....... . ............................... ................................... . ........ התאמת גרף למשוואתו......... ........................... ................. ............ מציאת נקודות על היש ר וחישוב שטחים............. .............................. משוואת ישר על - פי שיפועו ונקודה ש עליו........... ..................... .. ......... . משוואת ישר על - פי שתי נקודות ש עליו......... ........................ . ....... .... ישרים מקבילים ...................... ............................................ . ........ משוואות ישרים המקבילים לצירים. ........................................ . ....... אמצע ה של קטע ......... ....................................................... ... ....... מרחק בין שתי נקודות )אורך קטע( .. ............................... . ............ ... ייה של גרפים מציאותיים  קריאה וב קריאת גרפים.............................................................................. קריאת גרפים עם חישובי אחוזים .................................................... בניית גרפים................................................................................ ומטריה  טריגו משולשים סוגי משולשים...... ....................................................................... משולש ישר זווית - .............................. ........................................... פונקצית הטנגנס......... ................................................................. פונקצית הסינוס............................... ........................................... פונקצית הקוסינוס....... ....... .............................. . .......................... שימוש בפונקציות סינוס, קוסינוס וטנגנס ............. . ................. . ........ שימוש בפונקציות טריגונומטריות בבעיות מורכבות ............................ קווים מיוחדים במשולש................. ....... ........................................ שטח משולש...... ..........................................................................

269 301 306

321 322 324 331 338 344 349 355 366

374 377 387 389 396 404

מציאת צלעות וג על פי שטח נתון............ .. ............................... משולש שווה - שוקיים...... .................... . ........................... .............. משולש שווה - צלעות.................................................................... .. מרובעים ה מלבן....................... .............................................................. ... ה מעוין............... ....................................................... . ................. שילוב טריגונומטריה עם הנדסה אנליטית.. ...................... . .................

בהים

סטטיסטיקה ים ותיאורם הגרפי  תו  הצגת

407 411 416 419 420 426 429 441 447 458 469 475 492 494 499 504

טבלת התפלגות שכיחויות......................................... ..................... שכיחות יחסית............................................................................ דיאגרמת מקלות.......................................................................... דיאגרמת עיגול......................................... ................................... תיאורים גרפיים הכוללים חישובי אחוזים........................................ השכיח..... .................................................................................. הממוצע......................................... ............................................ חישוב ממוצעים מתוך דיאגרמות.................................................... החציון. ..................................................................................... הסתברות מאורעות חד - שלביים...... .. ............................................................ הסתברות מתוך טבלה .......................................................... . ........ טבלה דו מימדית............ .................................... . ......... .... ....... .. ... עקרון הכפל והחיבור ..................................................................... דיאגרמת עץ.... ................................................. . ............ . ............. הוצאת כדורים.................................... .................... . ................... בעי ות שונות............. ................................................ . ............... ..

פרקי חזרה

509 586

שאלות חזרה לפי נושאים ..............................................................

.............................................................. ................... ...

מבחנים

ספח 

בנספח זה מופיעות כל שאלות המאגר שנוספו בעקבות הוצאת חדש ה מאגר ה כפי שפורסם באתר מפמ"ר מתמטיקה ביוני 2011 .

השאלות בנספח זה מחולקות לפי נושאים, ומדורגות מן הקל אל הכבד . בפתיחת כל נושא ציינו היכן ניתן לשלב את השאלות הנוספות במ הלך הלימוד .

בנוסף לכמות הרבה של השאלות שנוספו למאגר, הן מאופיינות במורכבותן, במלל רב ובמושגים חדשים. כל אלה דורשים מאיתנו לימוד יסודי של בסיס החומר על מנת שהתלמידים יוכלו להתמודד עם האתגר שבשאלות החדשות . אי לכך המלצתנו היא ללמד את רוב שאלות המאגר החד שות בסוף הנושא או בהוראה ספיראלית. חלק קטן מהשאלות או סעיפים בודדים בשאלה, ניתן לשלב כבר במהלך לימוד הנושא. בהצעת הוראה שתפורסם באינטרנט נפרט את דרך העבודה ודרך השילוב של שאלות המאגר הנוספות בהוראה. ים  יי  תוכן הע הישר.................................. ................................................. ........ 683 הפרבולה................................................................................ ...... 684 שינוי נושא נוסחה.................................. ..................................... ... 686 בעיות מילוליות......................................................................... .... 690 קריאת גרפים.......................................................... ................... ... 699 גיאומטריה אנליטית............................................. ......................... 725 טריגונומטריה............................................................................ ... 744 סטטיסטיקה................................................................................. 746 סטטיסטיקה והסתברות.................................................................. 752 הסתברות .................................................................................. .. 756

יסוי  ית ה  תוכ

י  ית ההוראה בשאלו  פירוט תוכ 3 יח"ל –

35801 (

שאלון ראשון )

1 . משוואות:

משוואות ממעלה ראשונה ושנייה. מערכת משווא ות: שתי המשוואות ממעלה ראשונה, אחת מהמשוואות היא ממעלה ראשונה והשנייה מהצורה 2 y ax bx c    , או שתיהן מצורה זו. הקשר בין פתרון אלגברי והמשמעות הגרפית של הפתרון. במאגר לדוגמא: עמ' 4-5 תר' 33–41. 2 . פירוק לגורמים : פירוק על ידי הוצאת גורם משותף. 3 . שי נוי נושא בנוסחה : כולל שינוי נושא בנוסחה שיש בה שברים אלגבריים פשוטים. 4 . בעיות מילוליות : בעיות קנייה ומכירה )כולל התייקרויות והוזלות עוקבות באחוזים(, בעיות כלליות באחוזים )בעיות אלו מופיעות במאגר משנת תש"ס בעמודים 18-15 תרגילים 17-1 .( 5 . גרפים: . א קריאת מידע )אינפו רמציה( מגרפים המתארים מצבים "מציאותיים". בניית גרפים "מציאותיים" - מעבר מתיאור מילולי של מצב לתיאור גרפי שלו. . ב הקשר בין פתרון אלגברי והמשמעות הגרפית של הפתרון. המושגים: חיוביות, שליליות, עלייה, ירידה, כולל תחומים שבהם הגרף חיובי, שלילי, עולה או יורד )ללא פ רמטרים: בתרגילי מאגר שבהם יש פרמטרים, יוחלפו הפרמטרים במספרים(. במאגר לדוגמא: עמ' 6 – 7 תר' 42 – 45 , עמ' 81 - 83 תר' 23 – 27 . . ג השוואה איכותית של קצב שינוי, בגרפים מציאותיים ובגרפים אחרים )לכשיורחב המאגר(. קריאת גרפים של פונקציה ליניארית וריבועית )ללא פרמטר ים: בתרגילי מאגר שבהם יש פרמטרים, יוחלפו הפרמטרים במספרים(, קריאת גרפים של פונקציות כלשהן )עבור פונקציות שאינן ליניאריות או ריבועיות קריאת הגרף היא מתוך שרטוט בלבד וללא התבנית, לכשיורחב המאגר(. 6 . מושגי יסוד בגיאומטריה אנליטית: משוואת ישר: מציאת משוואת ישר ע ל פי נקודה עליו ושיפוע נתון, על פי שתי נקודות. חיתוך והקבלה של ישרים, אמצע קטע, חישוב מרחק בין נקודות בעזרת משפט פיתגורס. חישובי שטחים המורכבים ממלבנים, משולשים וטרפזים. במאגר לדוגמא: עמ' 47 - 50 תר' 1 – 16 .

7 . סדרה חשבונית: הגדרה מילולית על פי הפרש קבוע בין איברים עוקבים, הגדרת הסדרה לפי מקום )הנוסחה לאיבר כללי(, נוסחת סכום n האיברים הראשונים והשימוש בנוסחאות לחישובים מסוגים שונים, כולל פתרון בעיות מילוליות בסדרות. 8 . טריגונומטריה : הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות: סינוס, קוסינוס, טנגנס, במשולש ישר זווית ו שימוש בהן. יישומים במישור: משולשים ישרי זווית ומצולעים המתפרקים למשולשים ישרי זווית , משולש שווה שוקיים, משולש כללי, מלבן, מעוין. במהלך פתרון הבעיות יידרש שימוש בתכונות הגיאומטריות של המצולעים השונים וכן חישובי שטחים והיקפים, ללא שימוש בפרמטרים. 9 . סטטיסטיקה והסתברות : שכיחות, שכיחות יחסית )כולל באחוזים(, תיאור נתונים בטבלת שכיחויות. סידור נתונים בקבוצות ותיאורם הגרפי בצורת היסטוגרם, דיאגרמת עמודות )מקלות( ודיאגרמת עיגול. קריאה וניתוח של דיאגרמות אלה )לדוגמה עמ' 71 תרגיל 5 במאגר(. שכיח, חציון, ממוצע וחישובם. חישוב הסתברות של מאורע במרחב סופי כיחס בין מספר התוצאות במאורע למספר התוצאות במרחב. מאורע חד שלבי ודו - שלבי . הסתברות של מאורע משלים. הסתברות של איחוד מאורעות. שאלות על הסתברות של חיתוך מאורעות )עד 4 מאורעות בלתי תלויים זה בזה(, שניתנות לפתרון ללא שרטוט עץ ופתרונן מוגבל לענף יחיד. לדוגמא: הטלת מטבע 4 פעמים וההסתברות לקבלת התוצאה בסדר הבא – תמונה, מספר, מספר, מספר, או הטלת קובייה 4 פעמים וההסתברות לקבלת התוצאה בסדר הבא – 5 ,6 ,3 ,3. דוגמאות לשאלות לגבי שכיח, חציון והסתברות של חיתוך מאורעות תופענה עם הרחבת המ אגר. הערות: 1 . בכל שאלה מהמאגר ניתן לשנות בבחינת הבגרות את המספרים המופיעים בשאלה, להוסיף סעיפי מדרגה, להוריד סעיפים, להוסיף שרטוטים וכד'. 2 . לא יידרש שימוש בפרמטרים. עשויות להופיע שאלות מתוך המאגר שבהן יש פרמטרים, אך במקרים אלה הפרמטרים בשאלות יוחלפו במספרים. 3 . השאלות בשאלון הראשון יכולות להילקח מהמאגר הקיים מפרק א', מפירוט התרגילים שצוינו מפרק ב' וכן מההרחבות המצטברות של המאגר )בנושאים השייכים לשאלון הראשון(. 4 . שאלות המאגר בטריגונומטריה עשויות לכלול בבחינת הבגרות את היגד ה : "...תוך שימוש בהגדרת סינוס, קוסינוס או טנגנס במשולש ישר זווית."

ה  משוואות ממעלה ראשו עלם אחד  משוואות עם משוואות יסודיות

משוואה מורכבת מתבניות מספר שביניה ן מופיע סימן שוויון. התבנית המופיע משמאל לסימן השוויון נקראת אגף שמאל של המשוואה, והתבנית המופיעה מימין לסימן השוויון נקראת אגף ימין של המשווא המספר 12 . כדי לפתור משוואה יש למצוא ערך מספרי ל - x שעבורו מתקיים שוויון בין שני , האגפים כלומר האגף השמאלי שווה לאגף הימני. בדוגמה שהבאנו , אם נציב x 4  נקבל 4 8 12   , כלומר 12 12  . קיבלנו פסוק אמת ולכן x 4  הוא פתרון המשוואה. פתרון משוואות כדי למצוא ערך של x שעבורו מתקיימת המשוואה עלינו להביא ל - כך ש x יהיה לבדו באחד מאגפי המשוואה. דוגמה: פתור את המשוואה x 6 2   . פתרון: - כדי ש x יהיה לבדו באגף שמאל נ וסיף את המספר 6 לשני למשל במשוואה x 8 12   : באגף שמאל מופיע התבנית x 8  ובאגף ימין מופיע

ה

ה.

ה

המשוואה. x 6 2 / 6    x 6 6 2 6     x 2 6   x 8 

אגפי

המספר 6  מאגף

נשים לב כי הוספת המספר 6 לשני האגפים היא למעשה שמאל לאגף ימין באמצעות פעולה הפוכה. באגף שמאל בין x לבין 6 יש פעולת חיסור ולכן הוא עובר לא

העברת

ימין על ידי פעולת

גף

חיבור ההפוכה לחיסור. מסקנה זו מאפשרת לנו להגיע לפתרון בדרך קצרה יותר. נדגים זאת באותה משוואה x 6 2   . - כדי ש x יהיה לבדו באגף שמאל יש "להיפטר" מהמספר 6  , לכן נעביר ו לאגף ימין ונהפוך את סימנו ממ י נוס לפלוס. נקבל: x 2 6   x 8 

1

דוגמה: פתור את המשוואה x 5 11   . פתרון: - כדי ש x יהיה לבדו באגף שמאל יש "להיפטר " מהמספר 5 . בין x לבין 5 יש פעולת חיבור ולכן נ עבירו לאגף ימין על ידי פעולת החיסור, כלומר נהפוך את סימנו מפלוס למינוס. x 5 11   x 11 5   x 6  נבדוק את הפתרון על ידי הצבת x 6  במשוואה המקורית x 5 11   . נקבל: 6 5 11   11 11  השוויון בין שני האגפים מתקיים , כלומר קיבלנו פסוק אמת ולכן x 6  הוא פתרון המשוואה.

פתור את המשוואות הבאות )מצא את ערכו של x (:

1. x 4 3   2. x 7 11   3. x 5 0  

4. x 3 8    5. 4 x 10     6. 1 x 1    

x 8 2   

x 7 11  

x 4 9   8.

9.

7.

1 1 4 4

1 2

x

2  

x

1  

6.5 x 4  

01.

12.

11.

5  . 5 .

2.5  .

10  . 01.

4 . 9 .

0 . 7 . 5 . 8 .

6  . 6 .

5 . 4 .

18 . 3 .

7 . 2 .

תשובות: 1 .

1 2

1 2 . 21.

2 .

11.

דוגמה: פתור את המשוואה 2x 10  . פתרון: - כדי ש x יהיה לבדו ב אגף שמאל יש ל"היפטר" מהמספר 2 .

בין 2 לבין x יש פעולת כפל ולכן נעבירו לאגף ימין על ידי הפעולה ההפוכה לכפל , כלומר חילוק. נחלק את שני האגפים ב - 2 ונקבל: 2x 10 / : 2  10 2 x  x 5 

2

דוגמה: פתור את המשוואה

3 4 x 6   .

פתרון:

x יהיה לבדו באגף שמאל יש להיפטר מהמספר 3 4 .

- די ש כ

3 4 לבין x יש פעולת כפל ולכן נעבירו לאגף ימין ידי - על פעולת החילוק: 3 3 4 4 x 6 / :  

בין

3 4 6 x 

x 8  

פתור את המשוואות הבאות )מצא את x :(

5x 5 

6x 18 

2x 12 

15.

14.

31.

7x 21  

10x 30  

6x 0 

18.

17.

16.

x 8   

x 7  

8x 40   

21.

20.

19.

x 0  

8x 7 

10x 5 

24.

23.

22.

0.5x 12 

6x 4   

8x 2  

27.

26.

25.

3 4 x 18  

1 2

x 8 

1.6x 16   

28.

30.

29.

1 3 3 x 10   

1 4 2 x 9  

1 5 x 0 

33.

32.

31.

8 .

7  . 21 .

5 . 20 .

3  . 19 .

3  . 18 .

0 . 17 .

3 . 15 .

6 . 14.

1 . 16 .

תשובות: 31.

2 3 . 27 .

7 8 . 24 . 4  . 33 .

1 4  . 26 .

1 2 . 25 .

16 . 30 .

24 . 28. 10 . 92 .

22 . 0 . 23 . 31 . 0 . 32 .

24  .

3 .

דוגמה: פתור את המשוואה 3x 4 5   . פתרון: גם 3 וגם 4  "מפריעים" ל - x להיות לבד.

- כדי ש x יהיה לבדו באגף שמאל

"ניפטר" תחילה מ - 4  . נעבירו לאגף ימין ונשנה את סימנו. נקבל: 3x 5 4   , כלומר 3x 9  . עכשיו רק 3 "מפריע" ל - x להיות לבד ולכן נעבירו לאגף ימין על ידי פעולת חילוק: 3x 9 / : 3  9

3 x  x 3 

3

פתור את המשוואות הבאות:

4x 6 2   

5x 10 15  

2x 3 7  

36.

35.

34.

6x 10 16    

3x 5 14   

6x 7 55  

37.

39.

38.

4x 8 8   

2x 2 2   

8x 6 6  

24.

14.

04.

8x 4 8  

x 1 0   

x 4 7   

34.

45.

44 .

6 4x 5  

20x 5 5   

10x 7 0  

48.

47.

46.

1 2 x 4 6  

0.8x 1 7  

3.5x 7 21  

51.

50.

49.

3 4 2 x 10 32   

1 2 1 x 4 10   

1 6

x 6 6  

54.

53.

52.

4  .

0 . 24 .

0 . 14 .

1 . 40 .

3  . 39 .

8 . 38 .

1 . 37 . 1 0.5 2  . 46 .

5 . 36 .

5 . 35 .

תשובות: 34 .

7 10 0.7  . 47.

1 4 0.25  . 49 .

1 2 0.5    . 48 .

4 .

1  . 45 .

3  . 44 .

34 .

8  .

4  . 54 .

72 . 53 .

4 . 52 .

50 . 10 . 51 .

דוגמה: פתור את המשוואה 4x 5x 40 4    . פתרון: נחבר את האיברים עם ה - x שבאגף שמאל, ו נ

המספרים שבאגף ימין.

ת חבר א

9x 36 / : 9  36 9 x  x 4 

נקבל:

דוגמה: פתור את המשוואה 18x 12x 6   . פתרון: מטרתנו היא לרכז את כל האיברים עם x באגף שמאל , ולכן נעביר את 12x לאגף שמאל ונשנה את סימנו. נקבל: 18x 12x 6    נכנס איברים דומים ונקבל: 6x 6 / : 6   6 6 x   x 1  

4

דוגמה: פתור את המשוואה 3x 6 22 5x    . פתרון: מטרתנו היא לרכ ז את כל האיברים עם x באגף שמאל ואת כל המספרים באגף י מין. לכן נעביר את 5x  לאגף שמאל ונשנה את - ל סימנו 5x  , וכן נעביר את המספר 6 לאגף ימין ונשנה - ל סימנו את 6  : 3x 5x 22 6    לאחר כינוס איברים דומים נקבל: 8x 16 / : 8  16 8 x  x 2 

פתור את המשוואות הבאות:

9x 5x 28  

7x 3x 50  

55.

56.

x x 13 7   

9x 6x 55 10   

58.

57.

2x 3x 5 11    

2x x 3 8   

60 .

59.

10x 2x 24   

7x 4x 12  

61.

62.

7x 40 58 2x   

10x 2x 

64.

63.

3x 15 25 5x   

29 11x 7 15x   

66.

65 .

7x 3 x 21   

15 3x 45 2x    

67.

68.

6x 9 13x 9   

4x 9 11x 44   

70 .

69 .

1 x x 1   

7x 1 6x 27    

72.

71.

1 3

1

1

6 2 3 x 2 x 2   

6.4 2.5x 2.6 3.5x    

73 .

74.

0 .

6  . 61 .

3 . 59 .

3 . 58 .

7 . 57 .

5 . 56 .

2 . 63 .

4 . 62 .

11 . 60 .

תשובות: 55 .

1.5  .

0 . 71 .

5  . 70 .

6 . 68 .

5 . 67 .

9 . 66 .

1 . 73 .

2 . 72 .

4 . 69 .

64 . 2 . 65 . 74. 2 .

פתור את המשוואות הבאות:

3x 4 7x 5x 16    

6x 4x 3x 16 5 3     

75.

76.

x 15 4x 12 6x     

2x 45 x 3 5x    

78.

77.

5

20x 1 12x x 10     

8 2x 10 6x 14    

80.

79 .

16 1 4x 7 8x     

6x 7 12 4x 5    

82.

81 .

4 x 6 3x 6x 2 4      

50x 10 30x 11 x 0      

84.

83 .

4x 1 3x 18x 3 x 5x       

2 22x 15 28x 10 1      

86.

85 .

3 1 x 2x 2 5x 16     

1 4

6x 3 5x 1 2 x 3x 1       

87.

88.

2 4

1  .

2 . 83 .

0 . 82 .

1 . 81 .

2  . 80 .

3 . 79 .

8 . 78 .

4 . 77 .

2 . 76 .

תשובות: 75 .

2 7 . 87 .

1 3 1  . 86 .

84 . 1

5 .

3 . 88 .

2  . 85 .

משוואות עם סוגרי

םי

כאשר כופלים מספר בסכום מחוברים הנתון בתוך סוגריים, המס פר כופל את כל אחד מהמחוברים שבתוך הסוגריים. דוגמה: פתח סוגריים לביטוי 3(x 4)  . פתרון: נ פתח את הסוגרי י ם על ידי כך שנכפול את 3 - ב גם x וגם ב - 4 .

3(x 4) 3x 3 4 3x 12      

דוגמה: פתח סוגריים לביטוי 3(x 4)  . פתרון: נפתח את הסוגריים על ידי כך שנכפול את 3 - ב גם

x וגם ב - 4  .

3(x 4) 3x 3 ( 4) 3x 12       

6

פתח את הסוגרי י ם בתרגילים הבאים:

1. 3(x 2)  2. 5(x 4)  3 . 6 (x 2) 

4. 5 . 5(x 4)   6. 4(x 3)   3(x 1) 

7. 8. 2 (3x 4)  9. 3(5 2x)  2 (1 x)  

5x 20   .

3x 3  . 5.

6x 12  . 4 .

5x 20  . 3.

3x 6  .2.

תשובות: 1.

15 6x  .

6x 8  . 9 .

2 2x   . 8.

6 . 4x 12   . 7 .

דוגמה: פתור את המשוואה 5(x 3) 10   . פתרון: נפתח תחילה את הסוגרי י ם באגף שמאל ונקבל:

5x 15 10   5x 10 15   5x 25 / : 5  25 5 x  x 5 

נעביר את 15  לאגף ימין :

דוגמה: פתור את המשוואה 5 2(x 3) 11    . פתרון: נפתח את הסוגריים שבאגף שמאל ונקבל:

5 2x 6 11    2x 11 5 6     2x 0 / : 2    0 x 2   x 0 

נעביר את המספרים לאגף ימין .

פתור את המשוואות הבאות:

7 (x 2) 8 43   

2 (x 6) 20  

11.

01.

4 8(3 x) 52 0     

12 5(x 4) 22   

31.

21.

5 2 (x 7) 7   

3(x 4) 25 10   

41.

51.

2 (x 4) 15 11    

6 4 (2 x) 2 0     

16.

17.

4 (5x 1) 4 80    

3(2x 4)

10 40    

19.

18.

7

9x 5(x 2) 18   

4 9 (5 2x) 31 0    

12.

20.

7 (x 4) 3(6 x)   

8x 3(x 4) 32   

23.

22.

6 (x 2) 3(x 1) 24    

8(x 3) 3(x 2) 43    

24.

52.

11(x 6) 76 4 (x 1)    

7 (x 3) 5(x 4) 49    

62.

72 .

8(3x 2) 5(x 1)

40     

3(x 4) 44 8(x 4)    

92.

82.

9 (2x 7) 17 4 (x 2)    

6 (x 3) 18 2 (x 6)    

03.

13.

4(5x 7) 12 3(2x 4) 0     

32.

7 (2x 2) 8(x 2) 48 3(x 3)      

33.

40 7 (x 8) 3(x 6) 4 (x 10)      

34.

12 6 (x 4) 7 (x 2) 4 (x 6) 0       

35.

7 (x 4) 8(x 7) 69 5(x 8)      

36.

7 (2x 3) 5(x 4) 35 3(2x 8)      

37.

7 (5x 4) 3(5x 8) 63 5(4x 7)      

38.

8(x 4) 3(x 6) 6 (x 7) 5(x 3) 33        

39.

7 (2x 3) 81 5(x 4) 8(x 5) 3(3x 6)        

40.

3 .

8 . 16.

3 .21 .

2  . 18.

1 . 17.

1  .51.

4 .41.

2  .31.

4 .11 .

: תשובות 10.

0 .

5 .62.

5 . 52.

7 . 22.

2 . 82.

4 .72.

1  . 24.

4 . 23.

1 . 12 .

4  . 20. 1  .03.

91. 92.

4 5 .

1 4 . 37.

10  . 36.

3 .

3 . 31.

4 .

34. 1 . 35.

2 . 33 .

4 . 32.

38.

6 .

39. 2  . 40.

בדוגמאות שלפניך מופ י עים מקרים מיוחדים של פתיחת סוגר ים. י דוגמה: פתח את הסוגר ים י (x 2)7  . פתרון: רצוי להעביר את המספר 7 לפני הסוגר י ים ולאחר מכן לפתוח ם. י סוגרי

חשיבות לסדר כתיבתם .

זו מותרת כי כאשר כופלים בין שני ביטויים יןא

פעולה

(x 2)7 7(x 2) 7x 14      .

: כןל

8

Page 1 Page 2 Page 3 Page 4 Page 5 Page 6 Page 7 Page 8 Page 9 Page 10 Page 11 Page 12 Page 13 Page 14 Page 15 Page 16 Page 17 Page 18 Page 19 Page 20

Made with FlippingBook - professional solution for displaying marketing and sales documents online