Podręcznik 1 - LO i T - podstawowy

M A T E M A T Y K A

Alicja Cewe Małgorzata Krawczyk Maria Kruk, Alina Magryś-Walczak Halina Nahorska

MA T E MA T Y K A i przykłady jej zastosowań zakres podstawowy

1

Podręcznik

licea ogólnokształcące technika

Podręcznik dla absolwentów ośmioletniej szkoły podstawowej

Oznaczenia graficzne

W niebieskiej ramce umieszczono treści odpowiadające definicjom lub twierdzeniom.

W pomarańczowej ramce umieszczono te treści, które powinny być znane z wcześniejszych lat nauki. Przypomnijmy

Na szarym tle umieszczono uwagi, które są podsumowaniem ważnych treści; warto je zapamiętać.

Na fioletowym tle umieszczono ćwiczenia przewidziane jako zadania domowe, ponieważ ich rozwiązanie wymaga większej ilości czasu niż inne.

Na żółtym tle umieszczono zadania otwarte i zamknięte różnego rodzaju pod hasłem Zestaw powtórkowy .

R

Niebieski pasek na marginesie książki oznacza treści przeznaczone tylko dla zakresu rozszerzonego.

Na niebieskim tle umieszczono numery zadań o podwyższonym stopniu trudności. Symbol zeszytu na marginesie oznacza, że przykłady z ćwiczenia lub zadania należy przepisać do zeszytu i rozwiązać je; odpowiedzi do tych zadań i ćwiczeń nie należy wpisywać w podręczniku .

6.32.

Literka D przy numerze zadania oznacza zadanie na dowodzenie.

2.48. D

Skróty : c.n.u. – co należało uzasadnić (udowodnić), c.n.w. – co należało wykazać, c.k.d. – co kończy dowód.

Alicja Cewe, Małgorzata Krawczyk, Maria Kruk, Alina Magryś-Walczak, Halina Nahorska

MA T E MA T Y K A i przykłady jej zastosowań zakres podstawowy

1

Podręcznik

Gdańsk

Autorki: Alicja Cewe, Małgorzata Krawczyk, Maria Kruk, Alina Magryś-Walczak, Halina Nahorska Opracowanie edytorskie i redakcyjne: Alicja Cewe, Halina Nahorska, Alina Magryś-Walczak Konsultacja polonistyczna: Beata Różańska Projekt okładki: Alicja Cewe Skład i ilustracje: Jarosław Mach Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwego do spraw oświaty iwychowania i wpisany do wykazu podręczników szkolnych przeznaczonych do kształcenia ogólnego do nauczania matematyki, na podstawie opinii rzeczoznawców: dr. Macieja Bryńskiego, mgr Elżbiety Krzysztofiak, dr hab. Elżbiety M. Kur. Zakres kształcenia: podstawowy. Etap edukacyjny: III. Typ szkoły: szkoły ponadpodstawowe. Rok dopuszczenia: 2019. Numer ewidencyjny w wykazie: 1003/1/2019. Podręcznik zgodny z podstawą programową kształcenia ogólnego w liceach ogólnokształcących i technikach – zakres podstawowy, określoną w rozporządzeniu Ministra Edukacji Narodowej z dnia 30 stycznia 2018 roku (Dz.U. z 2017 r., poz. 59, 949 i 2203.)

ISBN 978-83-65120-82-3 © Copyright by Wydawnictwo Podkowa Gdańsk, ul. Paganiniego 17/17

Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-460 Gdańsk 6 dział zamówień i reklamacji pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl tel. 602 211 526 tel./fax 585 208 745

Spis treści

Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Zbiory, działania na nich i pojęcie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Zbiory i działania na nich. . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Część wspólna zbiorów (iloczyn zbiorów).. . 9 Suma zbiorów (złączenie zbiorów). . . . . . . . 10 Różnica zbiorów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Przyporządkowanie jednoznaczne a pojęcie funkcji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym .. . . . . . . . . . . . . . 18 Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Sinus i cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Odczytywanie wartości funkcji trygonometrycznych z tablic.. . . . . . . . . . . . . 35 Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych.. . 38 Związki między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego. . . . . . . . . 41 Zestaw powtórkowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Liczby naturalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Liczby całkowite.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Liczby wymierne.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Liczby niewymierne.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Liczby rzeczywiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Przedziały liczbowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Działania na przedziałach liczbowych. . . . . 74 Zestaw powtórkowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4. Potęgowanie, pierwiastkowanie i logarytmowanie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Potęga o wykładniku całkowitym. . . . . . . . . 79

Pierwiastki kwadratowe i pierwiastki sześcienne.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Pierwiastki stopnia n i działania na nich.. . . 88 Potęga o wykładniku wymiernym. . . . . . . . . 94 Pojęcie logarytmu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Logarytm iloczynu, ilorazu oraz logarytm potęgi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Przykłady zastosowań potęg i logarytmów. 108 Zestaw powtórkowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5. Wzory skróconego mnożenia .. . . . . . . . . . 114 Kwadrat sumy i kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Różnica kwadratów dwóch wyrażeń.. . . . . 118 Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Zestaw powtórkowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6. Równania i nierówności liniowe z jedną niewiadomą .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Równanie liniowe z jedną niewiadomą.. . . 132 Nierówność liniowa z jedną niewiadomą. . 139 Przykłady zadań prowadzących do rozwiązywania nierówności liniowych.. . . 145 Równania z wartością bezwzględną. . . . . . 148 Nierówności z wartością bezwzględną. . . . 153 Zestaw powtórkowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 7. Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Rozwiązywanie układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi. . . . . . 160

Przykłady zadań prowadzących do rozwiązywania układów równań

liniowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Zestaw powtórkowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Spis treści

4

8. Funkcja i jej własności .. . . . . . . . . . . . . . . . 173 Sposoby określania funkcji. . . . . . . . . . . . . . 173 Ciąg liczbowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Dziedzina i zbiór wartości funkcji.. . . . . . . 180 Miejsce zerowe i znak funkcji w przedziale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Monotoniczność funkcji.. . . . . . . . . . . . . . . . 190 Wartość najmniejsza i największa funkcji w przedziale domkniętym. . . . . . . . . . . . . . . 193 Zestaw powtórkowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9. Funkcja liniowa i jej własności . . . . . . . . . 198 Wzór i wykres funkcji liniowej. . . . . . . . . . 198 Interpretacja współczynników liczbowych we wzorze funkcji liniowej.. . . . . . . . . . . . . 201 Miejsce zerowe i znak funkcji liniowej.. . . 206 Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej.. . . . . 211 Przykłady funkcji liniowych określonych w różnych przedziałach różnymi wzorami. 215 Funkcja liniowa w zastosowaniach. . . . . . . 218 Zestaw powtórkowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10. Funkcja f x a x ( ) = i wielkości odwrotnie proporcjonalne .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Wykres i własności funkcji określonej wzorem f x a x ( ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Wielkości odwrotnie proporcjonalne.. . . . . 231 Zestaw powtórkowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 11. Równania kwadratowe . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Równania kwadratowe niezupełne.. . . . . . . 240 Równanie kwadratowe zupełne a wzory skróconego mnożenia.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Wyróżnik równania kwadratowego i liczba jego pierwiastków.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Przykłady zadań prowadzących do rozwiązywania równań kwadratowych.. . . 250 Zestaw powtórkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

12. Funkcja kwadratowa .. . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Wykres i własności funkcji kwadratowej f x ax ( ) = 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Postać kanoniczna funkcji kwadratowej. 260 Postać kanoniczna a postać ogólna funkcji kwadratowej.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Miejsca zerowe funkcji kwadratowej i jej postać iloczynowa.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym. . . 276 Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o niej. . . . . . . . . . . 281 Funkcja kwadratowa w zastosowaniach.. . 286 Zestaw powtórkowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Wskazówki i odpowiedzi .. . . . . . . . . . . . . . 295 1. Liczby rzeczywiste i działania na nich.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.. . . 295 3. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 4. Potęgowanie, pierwiastkowanie i logarytmowanie.. . . . . . . . . . . . . . . . . 299 5. Wyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożenia. . . . . . . . . . . . . . 302 6. Równania i nierówności liniowe z jedną niewiadomą.. . . . . . . . . . . . . . . 303 7. Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 8. Funkcja i jej własności. . . . . . . . . . . . . 307 9. Funkcja liniowa i jej własności.. . . . . 309 10. Funkcja f x a x ( ) = i wielkości odwrotnie proporcjonalne.. . . . . . . . . . 312 11. Równania kwadratowe. . . . . . . . . . . . . 313 12. Funkcja kwadratowa. . . . . . . . . . . . . . . 315

Wstęp Umieć matematykę to między innymi wiedzieć, jak w codziennym życiu korzystać z jej dobrodziejstw. Książka „ Podręcznik 1. – zakres podstawowy ” z serii Matematyka i przy- kłady jej zastosowań jest podręcznikiem dla liceum ogólnokształcącego i techni- kum. Jest w niej wystarczająca liczba zadań i ćwiczeń, by poznać realizowane treści, a tym samym nabyć umiejętności wymienione w podstawie programowej określonej w rozporządzeniu z dnia 30 stycznia 2018 roku (Dz. U. z 2017 r., poz. 59, 949 i 2203). Do podręcznika opracowano zbiór zadań. W końcowej części każdego realizowanego tematu lekcji zamieszczono za- dania pozwalające na utrwalenie przerobionego materiału. Odpowiedzi do zadań utrwalających znajdują się na ostatnich stronach książki. Odpowiedzi do ćwiczeń są umieszczone przed każdym zestawem zadań utrwalają- cych na końcu każdego podrozdziału (w fioletowej ramce). Przy rozwiązywaniu problemów można korzystać z dostępnych narzędzi i technologii informatycznych, czyli encyklopedii, tablic matematycznych, kalku- latorów i komputerów.

Życzymy powodzenia, Autorki

1. Zbiory, działania na nich i pojęcie funkcji

Zbiory i działania na nich

Zbiór określamy, podając jego elementy lub opisując warunki, które te elementy spełniają, np. zbiór dni tygodnia A  = {poniedziałek, wtorek, środa, czwartek, piątek, sobota,  niedziela} . • a jest elementem zbioru A zapisujemy a A ∈ i czytamy „ a należy do A ”. • a nie jest elementem zbioru A zapisujemy a A ∉ i czytamy „ a nie należy do A ”. Przykład 1. Podaj przykład dwóch liczb, które są elementami zbioru B takiego, że B = − { } 3 0 1 5 , , , , oraz przykład liczby, która do zbioru B nie należy. Rozwiązanie. Liczba 1 jest elementem zbioru B , co zapisujemy 1 ∈ B , Ćwiczenie 1. Które spośród liczb –4, –1, 0, 2, 4 są, a które nie są elementami zbioru A takiego, że A = − − { } 2 1 0 1 2 3 , , , , , ? Ze względu na liczbę elementów rozróżniamy zbiory skończone i nieskończone. Zbiór skończony to zbiór, którego liczba elementów jest równa pewnej liczbie naturalnej n , np. zbiór uczniów w twojej szkole. Zbiór pusty (oznaczamy go symbolem ) to zbiór skończony, który nie ma żadnego elementu, np. zbiór liczb rzeczywistych spełniających równanie x 2 3 = − . Zbiór nieskończony  to zbiór, który nie jest skończony (ma nieskończenie wiele elemen- tów), np. zbiór liczb naturalnych. Zbiory będziemy oznaczać dużymi literami alfabetu, np.: A , B , C , T , X , ... . Elementy zbioru będziemy oznaczać małymi literami alfabetu, np.: a , b , x , y , ... . Zbiór A o elementach a , b , c ma zapis symboliczny A a b c = { } , , . Stwierdzenie, że: Punktem wyjścia do definiowania wielu nowych pojęć w matematyce jest pojęcie zbioru. Mówimy o zbiorze uczniów w szkole, zbiorze samochodów na parkingu, zbiorze książek na półce, zbiorze rozwiązań równania itp. Jednak gdy ktoś nas zapyta, co to jest zbiór, to nie udzielimy ścisłej odpowiedzi. Zbiór to pojęcie pierwotne , czyli takie, którego nie definiujemy. liczba 5 jest elementem zbioru B , co zapisujemy 5 ∈ B , liczba 3 nie jest elementem zbioru B , co zapisujemy 3 ∉ B .

Uwaga. Jeżeli wypisujemy elementy zbioru nieskończonego, to zwykle piszemy kilka kolejnych elementów, a w miejsce pozostałych wstawiamy wielokropek, np.: • zbiór liczb naturalnych parzystych: 0 2 4 6 , , , , ... } { , • zbiór liczb całkowitych ujemnych: ..., , , , − − − − } { 4 3 2 1 . Wmatematyce szczególnie ważną rolę odgrywają te zbiory, których elementami są liczby. Nazywamy je zbiorami liczbowymi . 8 1. Zbiory, działania na nich i pojęcie funkcji

Ćwiczenie 2. Spośród zbiorów A , B , C , D i E takich, że: • A to zbiór wszystkich liczb naturalnych nie większych niż 5, • B to zbiór wszystkich naturalnych dzielników liczby 12, • C to zbiór wszystkich potęg liczby 3 o wykładnikach naturalnych, • D to zbiór wszystkich liczb x spełniających warunek x < 0, • E to zbiór wszystkich liczb x spełniających równanie 2 1 0 x + = ,

wybierz ten, który jest: a) zbiorem skończonym,

b) zbiorem nieskończonym, d) zbiorem jednoelementowym.

c) zbiorem pustym,

Zbiór A zawiera się w zbiorze B (co zapisujemy A B ⊂ ), gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B . Zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B .

Uwaga • Każdy zbiór jest jednocześnie swoim podzbiorem, bo każdy element zbioru A jest elementem zbioru A . • Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru. Ćwiczenie 3. Określ relacje zawierania się zbiorów A , B , C i D , gdy: A – zbiór trapezów, B – zbiór równoległoboków, C – zbiór prostokątów, D – zbiór rombów.

A A ⊂ ∅ ⊂ A

Jeżeli A B ⊂ i B A ⊂ , to A B = .

A

A B B ⊂ ⊂ i

9

1. Zbiory, działania na nich i pojęcie funkcji

Na zbiorach wykonujemy działania. Wyznaczamy iloczyn (inaczej część wspólną), sumę (inaczej złączenie) i różnicę zbiorów. Pojęcia te wyjaśnimy na przykładzie.

Przykład 2. Czternastu uczniów klasy Ia w ramach zajęć pozalekcyjnych uprawia pły- wanie lub grę w piłkę nożną. Wiadomo też, że uczeń może uprawiać obie te dyscypliny. Wdzienniku zajęć pozalekcyjnych uczniowie uprawiający pływanie są zapisani na liście od numeru 1 do 8, natomiast uprawiający piłkę nożną zapisani są od numeru 6 do 14. Pisząc 1 , mamy na myśli   Alę , pisząc 8 , mamy na myśli   Pawła , pisząc 14 , mamy na myśli   Tadka itd. Opisaną sytuację przedstawiamy graficznie.

A – zbiór uczniów uprawiających pływanie, B – zbiór uczniów uprawiających piłkę nożną.

Oznaczenie:

Część wspólna zbiorów (iloczyn zbiorów) Analizując zawarte wprzykładzie 2. informacje o uczniach, zauważamy, że troje uczniów zapisanych pod numerami 6, 7 i 8 uprawia pływanie i grę w piłkę nożną. Mówimy, że zbiór uczniów uprawiających obie te dys- cypliny sportowe jest częścią wspólną zbiorów A i B , co zapisujemy A B ∩ = { , , } 6 7 8 .

Częścią wspólną zbiorów A i B  (iloczynem zbiorów A i B ) nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B . Część wspólną zbiorów A i B oznaczamy A B ∩ .

x A B ∈ ∩ oznacza, że x A ∈ i x B ∈

10

1. Zbiory, działania na nich i pojęcie funkcji

Do części wspólnej zbiorów A i B należą te elementy, które należą jednocześnie do obu tych zbiorów. Część wspólną zbiorów A i B można zilustrować za pomocą rysunku.

A B ∩

Ćwiczenie 4. Wyznacz zbiór A B ∩ , gdy: a) A = − − { } 7 3 1 6 , , , , B = − { } 3 0 3 , , ,

{ } 1 3

b) A = {

}

,3 13 , B =

π ,

2 , ,

c) A a b k x = { } , , , , B b x = { } , .

Przykład 3. Wyznacz zbiór A B ∩ , gdy: A – zbiór liczb całkowitych dodatnich, B – zbiór liczb całkowitych ujemnych. Rozwiązanie. Nie ma liczb, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B . Zbiory te nie mają elementów wspólnych. Mówimy o nich, że są rozłączne. Ich wspólna część jest zbiorem pustym, co zapisujemy A B ∩ = ∅ .

Dwa zbiory, których wspólna część jest zbiorem pustym, nazywamy rozłącznymi .

Ćwiczenie 5. Wypisz pary zbiorów rozłącznych przedsta- wionych na rysunku.

Suma zbiorów (złączenie zbiorów)

Zbiór uczniów uprawiających co najmniej jedną z dyscy- plin sportowych z przykładu 2. jest sumą zbiorów A i B , co zapisujemy A B ∪ = { } 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 .

A B ∪

Sumą dwóch zbiorów  A i B nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub należą do zbioru B . Sumę zbiorów A i B oznaczamy A B ∪ .

x A B ∈ ∪ oznacza, że x A x B ∈ ∈ lub .

Ćwiczenie 6. Wyznacz sumę zbiorów A i B , gdy: a) A = − { } 3 0 3 , , , B = − { } 1 0 1 , , , b) A = − {

} 1 0 1 2 , , , , B = { } 0 1, .

11

1. Zbiory, działania na nich i pojęcie funkcji

Różnica zbiorów Jeżeli spośród uczniów klasy Ia z przykładu 2., upra- wiających pływanie lub grę w piłkę nożną, wszyscy trenujący grę w piłkę nożną wyjechali na zgrupowanie, to zbiór uczniów, którzy pozostali w szkole, zapisujemy symbolicznie i jest on różnicą zbiorów A i B .

A B \

Różnicą dwóch zbiorów  A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B . Różnicę zbiorów A i B oznaczamy A B \ .

x A B ∈ \ oznacza, że x A x B ∈ ∉ i .

Uwaga. Dla zbiorów A i B z przykładu 2. możemy określić dwie różnice: A B \ i B A \ . A B \ – zbiór uczniów, którzy uprawiają tylko pływanie, B A \ – zbiór uczniów, którzy uprawiają tylko piłkę nożną.

, , , , = { } 1 2 3 4 5

, , , , , = { } 9 10 11 12 13 14

A B \

B A \

Ćwiczenie 7. Wiedząc, że A = {

} 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , , , , , , , , , , B = {

} 1 3 5 7 9 , , , , ,

C = { } 2 4 6 8 , , , , wyznacz różnice zbiorów: A B \ , B A \ , B C \ , C B \ .

Przykład 4. Zbiór A jest zbiorem trójkątów prostokątnych, a zbiór B zbiorem trójkątów równoramiennych. Nazwij trójkąty należące odpowiednio do zbiorów: A B ∩ , A B ∪ ,

A B \ , B A \ . Rozwiązanie

Do zbioru A B ∩ należą trójkąty prostokątne równoramienne, do zbioru A B ∪ należą trójkąty prostokątne lub równoramienne, do zbioru A B \ należą trójkąty prostokątne, które nie są równoramienne, do zbioru B A \ należą trójkąty równoramienne, które nie są prostokątne.

12

1. Zbiory, działania na nich i pojęcie funkcji

Jeżeli A B ⊂ , to różnicę B A \ nazywamy dopełnieniem zbioru A do zbioru B .

B A \

Ćwiczenie 8. Zbiór X jest zbiorem wszystkich trójkątów, A – zbiorem trójkątów ostro- kątnych, B – zbiorem trójkątów prostokątnych, C – zbiorem trójkątów rozwartokątnych. Nazwij trójkąty należące odpowiednio do zbioru: a) X A \ , b) X B \ , c) X C \ .

Odpowiedzi do ćwiczeń 1. − ∉ 4 A , − ∈ 1 A , 0 ∈ A , 2 ∈ A , 4 ∉ A . 2. a) A , B , E , b) C , c) D , d) E . 3. B A ⊂ , D A ⊂ , C A ⊂ , C B ⊂ , D B ⊂ . 4. a) − } { 3 , b) Ø, c) b x , } { . 5. A B ∩ = ∅ , A C ∩ = ∅ . 6. a) − − } { 3 1 0 1 3 , , , , , b) − } { 1 0 1 2 , , , . 7. A B \ , , , , = } { 0 2 4 6 8 , B A \ = ∅ , B C B \ = , C B C \ = . 8. a) Trójkąty rozwartokątne lub prostokątne, b) trójkąty rozwartokątne lub ostrokątne, c) trójkąty ostrokątne lub prostokątne. Zadania utrwalające 1.1. Określ, jakim zbiorem, skończonym czy nieskończonym, jest zbiór A , gdy: a) A = } { 1 2 3 4 5 6 7 , , , , , , , ... , b) A = − − − } { 5 3 1 1 3 5 , , , , , , c) A = } { 1 2 4 8 16 32 64 , , , , , , , ... , d) A = − − − } { ..., , , , , , , , ... 6 4 2 0 2 4 6 . 1.2. Wypisz niepuste podzbiory trójelementowego zbioru liter a b c , , } { . Ile podzbiorów otrzymałaś(eś)? Czy pamiętałaś(eś), że każdy zbiór jest swoim podzbiorem? 1.3. W supermarkecie na półce znajdują się 234 opakowania płynów do prania, w tym 157 do prania wyłącznie w pralkach automatycznych i 97 do prania ręcznego. Czy wśród wszystkich opakowań są płyny, które można stosować do prania ręcznego i do prania w pralce automatycznej? Ile jest takich płynów? 1.4. Z klasy liczącej 32 uczniów na wakacje wyjechali wszyscy. Osiemnastu wyjechało do rodziny, a dwudziestu czterech poza województwo, w którym mieszkają. Ilu uczniów spędziło wakacje u rodziny mieszkającej poza województwem? 1.5. Wiedząc, że zbiór A jest zbiorem liczb całkowitych nie mniejszych niż –2 i mniejszych niż 5, a zbiór B zbiorem liczb naturalnych nie większych niż 7, wypisz elementy zbioru: a) A , b) B , c) A B ∪ , d) A B ∩ , e) A B \ , f) B A \ .

13

1. Zbiory, działania na nich i pojęcie funkcji

1.6. Stacje radiowe A i B położone są w odległości 40 km od siebie. Audycje nadawane przez stację A mogą być odbierane w promieniu 30 km od niej, zaś audycje nadawane przez stację B w promieniu 20 km od niej.

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D. Rejon zasięgu obu stacji radiowych jednocześnie przedstawiono na rysunku: A. I, B. II. Rejon zasięgu co najmniej jednej z tych stacji przedstawiono na rysunku: C. III, D. IV. 1.7. Wiedząc, że: • X to zbiór liczb naturalnych dwucyfrowych, • A to zbiór parzystych liczb naturalnych dwucyfrowych,

• B to zbiór liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 3, • C to zbiór liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6, opisz słowami zbiór: a) A B ∪ , b) B C ∩ , c) X C ∩ , d) X A \ ,

e) X C ∪ .

Przyporządkowanie jednoznaczne a pojęcie funkcji Ludzie komunikując się między sobą, z reguły używają zdań. Zdania mogą określać przy- porządkowanie między dwoma zbiorami.

X

Y

Ćwiczenie 9. Zbiorowi państw: Pol- ska, Czechy,Austria,Włochy, Niemcy i Francja przyporządkowano zbiór jego stolic. Na rysunku przedstawiono dwa zbiory X i Y . Przerysuj do zeszytu i połącz strzałkami każde państwo i jego stolicę.

Praga

Polska

Berlin Warszawa Paryż

Czechy

Austria

Włochy

Wiedeń Rzym

Niemcy

Francja

14

1. Zbiory, działania na nich i pojęcie funkcji

Przykład 5. Marek na spotkaniu z kolegami i koleżankami powiedział: – W mojej grupie nie ma ocen niedostatecznych na koniec pierwszego semestru z ma- tematyki. Oceny semestralne dziesięcioosobowej grupy uczniów, którzy w dzienniku lekcyjnym są zapisani pod numerami od 1 do 10, przedstawiono w tabeli. Zauważ, że każdemu elementowi ze zbioru X , czyli każdemu państwu, przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru Y , czyli jego stolicę. Tak uzyskane przyporządkowanie nazywamy funkcją .

Numer z dziennika pod którym uczeń jest zapisany [ x ] (numer ucznia w dzienniku)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ocena [ y ]

3 3 6 5 4 3 4 2 4 3

Zmienna x przybiera wartości ze zbioru kolejnych liczb naturalnych od 1 do 10. Zmienna y przybiera wartości ze zbioru pięcioelementowego: 2, 3, 4, 5, 6. Zobrazujemy to strzałkami poprowadzonymi od liczb odpowiadających uczniom do liczb oznaczających stopnie.

X = {

}

8 4 3 1 2 6 10 5 7 9 , , , , , , , , ,

Y = {2, 3, 4, 5, 6}

Zauważamy, że każdemu uczniowi z Marka grupy przyporządkowana została w sposób jednoznaczny ocena semestralna. Zbiór X nazywamy dziedziną tego przyporządkowania (funkcji), a zbiór Y nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Ćwiczenie 10. Określ, czy podane zdanie jest funkcją. Jeśli tak, to podaj jej dziedzi- nę X i zbiór wartości Y .

a) Każdy Polak ma swój numer PESEL. b) Każdy człowiek ma (bądź miał) dziadka. c)  Każdy człowiek ma swój kod DNA.

15

1. Zbiory, działania na nich i pojęcie funkcji

Uwaga. Jednoznaczne przyporządkowanie w matematyce nazywamy funkcją . • Funkcja przyporządkowuje każdemu elementowi jednego zbioru tylko jeden ele- ment drugiego zbioru. Pierwszy zbiór nazywa się dziedziną funkcji , a drugi jest zbiorem zawierającym zbiór wartości funkcji .

• Funkcje w matematyce najczęściej oznaczamy: – małymi literami alfabetu , np.: f , w , g , h , s , t , u , – słowami albo ich skrótami, np.: tg (skrót od tangens ),

sgn (skrót od signum – łac. znak ).

Zbiór argumentów (dziedzina funkcji)

Zbiór wartości

argument wartość f (argument) = wartość

funkcja f

argument

wartość

Przyporządkowanie funkcyjne między zbiorami X i Y możemy krótko zapisać y f x = ( ).

Przykład 6. Określ, czy graf przedstawiony na rysunku spełnia warunek: „każdemu elementowi ze zbioru X odpowiada dokładnie jeden element ze zbioru Y ”. Odpowiedź uzasadnij. a)   b)          c)     d)

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

f

h

k

g

a

1

1

1

1

a

a

b c

a

b c

2

2

2

2

b

3

3

3

3

d

Rozwiązanie a) Tak, bo f

a 1 ( ) = , f

b 2 ( ) = , f

c 3 ( ) = , czyli przyporządkowanie f jest jednoznaczne.

b) Nie, bo g 3 ( ) nie ma wartości. c)  Nie, bo h b 2 ( ) = i h c 2 ( ) = , czyli argumentowi 2 przyporządkowane są aż dwie wartości. d) Tak, bo k a 1 ( ) = , k a 2 ( ) = , k a 3 ( ) = , czyli przyporządkowanie k jest jednoznaczne. Odp.: a) Tak, b) nie, c) nie, d) tak. Ćwiczenie 11. Określ, czy jeżeli elementom ze zbioru Y przyporządkujemy elementy zbioru X z przykładu 6. a), b), c), d), to przyporządkowanie będzie funkcją. Odpowiedź uzasadnij.

16

1. Zbiory, działania na nich i pojęcie funkcji

Ćwiczenie 12. Wwitrynie sklepu „Ciucholand” widnieje napis reklamowy: Dziś wszyst- ko po 10 zł! Określ, czy przyporządkowanie f i g jest funkcją, gdy A to zbiór towarów w „Ciucholandzie”, a B to zbiór cen. towary w sklepie 10 zł A B Ćwiczenie 13. a) Uzasadnij, że nie jest funkcją przyporządkowanie, które do każdego dnia tygodnia przyporządkowuje człowieka, który się w tym dniu urodził. b) Czy przyporządkowanie, które każdemu człowiekowi przyporządkowuje dzień tygo- dnia w którym się urodził, jest funkcją? Jeśli tak, to określ jej dziedzinę i zbiór wartości. f g

Odpowiedzi do ćwiczeń 9. X

10. a) Tak, X – zbiór Polaków, Y – zbiór numerów PESEL, b) nie, bo jeden człowiek ma dwóch dziadków, c) tak, X – zbiór ludzi, Y – zbiór kodów DNA.

Y

Praga

Polska

Berlin Warszawa Paryż

Czechy

Austria

Włochy 11. a) Nie, bo elementowi d nie jest przyporządkowana żadna wartość, b) tak, c) nie, bo elementowi b są przyporządkowane dwie wartości, d) nie, bo elementowi a są przyporządkowane trzy wartości. 12. Przyporządkowanie f jest funkcją, bo każda sztuka towaru ma stałą wartość 10 zł. Przyporządkowanie g nie jest funkcją, bo elementowi 10 zł odpowiada wiele towarów. 13. a) Wskazówka. Zauważ, że np. środa może być dniem urodzin wielu ludzi. Niemcy Francja Wiedeń Rzym

Zadania utrwalające 1.8. Określ, czy funkcją jest przyporządkowanie, które: a) człowiekowi przyporządkowuje jego wagę, b) matce przyporządkowuje jej dziecko, c)  dziecku przyporządkowuje jego ojca biologicznego,

d) drzewu przyporządkowuje jego liść, e) jabłku przyporządkowuje jabłoń. f) piosence przyporządkowuje jej wykonawcę. 1.9. Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D. Jednoznaczne jest przyporządkowanie, które:

A. dzień tygodnia przyporządkowuje dacie, B. dacie przyporządkowuje dzień tygodnia,

17

1. Zbiory, działania na nich i pojęcie funkcji

Nie jest funkcją przyporządkowanie, które:

C. miastu przyporządkowuje liczbę jego mieszkańców, D. liczbę mieszkańców przyporządkowuje miastu.

1.10. Określ, czy funkcją jest przyporządkowanie, które: a) liczbie boków wielokąta przyporządkowuje liczbę jego przekątnych, b) długości boku kwadratu przyporządkowuje jego pole, c)  liczbie boków wielokąta przyporządkowuje sumę miar jego kątów wewnętrznych, d) każdej liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowuje liczbę do niej przeciwną. 1.11. Pewną funkcję f przedstawiono w postaci grafu. Popraw tabelę tak, aby funkcja f była zgodna z przedstawieniem jej w postaci grafu. X f Y 0 –2

–2 3

1

x y

–2 0 1 2 10 –2 3 0 100 100

100

2 10

0

1.12. Określ, które z przyporządkowań jest funkcją, gdy: a) x y → , b)

c)

x y → .

y

a

x –2 –1 0 1 2 y 4 1 0 1 4

c

1

b

x

0

1

1.13. Elementom zbioru A a b c d = { } , , , przyporządkowano elementy zbioru A w sposób pokazany na grafie. Przyporządkowanie to na- zwano p . Przepisz przykłady do zeszytu i w miejsce wpisz odpowiedni element zbioru A . p a ( ) = , p b ( ) = , p c ( ) = , p d ( ) = . 1.14. Między podanymi zbiorami określ funkcję. a) A – zbiór liczb stron, B – zbiór książek, b) C – zbiór samochodów, D – zbiór numerów podwozi samochodów, c) E – zbiór numerów butów, F – zbiór ludzi, d) G – zbiór pierwszych imion ludzi, H – zbiór ludzi.

b

c

a

d

2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Słowo „trygonometria” jest zaczerpnięte z języka greckiego i oznacza mierzenie trójkątów. Ta dziedzina matematyki zajmuje się opisywaniem związków między długościami boków trójkąta a miarami jego kątów. Znajomość tych związkówwykorzystują geodeci, architekci, a także specjaliści innych dziedzin (np. fizyki, geografii, astronomii itp.). Przyporządkowania kątom ostrymw trójkącie prostokątnym stosunków długości odpowied- nich jego boków są jednoznaczne i dlatego zyskały one nazwy funkcji trygonometrycznych. Nim poznamy te nazwy, określimy podobieństwo figur i podobieństwo trójkątów . Z figurami podobnymi spotykamy się w życiu codziennym. Są to przedmioty, które mają taki sam kształt, chociaż ich rozmiary są różne.

Figury f i f 1

 nazywamy podobnymi w skali k , gdzie k > 0 , jeśli można ustalić od-

powiedniość między punktami figury f i punktami figury f 1

w taki sposób, że jeżeli

A B AB

k 1 1 = .

punktom A i B figury f odpowiadają punkty A 1

i B 1

figury f 1

, to

f

1

f

D

1

B

D

A

1

1

A

B

C

C

1

Figura f jest podobna do figury f 1

, więc

AB A B

CD C D

A B AB

C D CD k 1 1 1

1 1

k

lub

= .

=

=

=

1 1

1 1

Uwaga. Zapis: • f f ~ 1

czytamy figura f jest podobna do figury f 1 .

∆ . ABC A B C ~ 1 1 1

czytamy trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A B C 1 1 1 .

• ∆

Trójkąty są podobne , jeżeli miary kątów jednego trójkąta są równe miarom odpo- wiednich kątów drugiego trójkąta oraz boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta.

19

2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A B C 1 1 1 , gdy spełnione są warunki: α α = 1 , β β = 1 , γ γ = 1 oraz a a b b c c k 1 1 1 = = = , gdzie k > 0, skąd a ka = 1 , b kb = 1 , c kc = 1 . A B C b c a A 1 1 1 1 1 1 B C b c a γ β α 1 γ 1 α 1 β

Uwaga Dwa trójkąty prostokątne są podobne, gdy: •  jeden z kątów ostrych w obu trójkątach ma tę samą miarę, czyli α α = 1 albo β β = 1 , • stosunek długości dwóch boków jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich dwóch bo- ków drugiego trójkąta, np.   a b a b = 1 1 , a c a c = 1 1 , b c b c = 1 1 .

B

B

1

β

c

c

1 β

a

1

a

1

1 α

α

A 1

C

C

A

b

1

1

b

Ćwiczenie 1. Uzasadnij, że: a) ∆ ∆ . ABC A B C  1 1 1 ,

b) ∆

c) ∆

∆ . ABC ABD  ,

∆ . ABC ABD  .

B

1

35°

4

3

C

A

55°

1

1

6

8

wyrazy skrajne

Uwaga Proporcją nazywamy równość dwóch stosunków (równość dwóch ilorazów), co zapisujemy:

a : b = c : d wyrazy skrajne

b a

c

=

lub

d

wyrazy środkowe

wyrazy środkowe

• Wproporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych: a d b c : : = , więc a d b c ⋅ = ⋅ lub a d b c = , więc a d b c ⋅ = ⋅ . • W proporcji można zamieniać „miejscami” wyrazy skrajne lub wyrazy środkowe. Zamiana wyrazów skrajnych: Zamiana wyrazów środkowych: jeżeli a d b c = , to d a b c = . jeżeli a d b c = , to a d c b = .

20

2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

B

a

Przykład 1. Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i A B C 1 1 1 są podobne. Wykaż, że a b a b = 1 1 , a c a c = 1 1 oraz b c

B

a

1

C

1

C

β

γ

1

1 β

1 γ

b

b

1

b c = 1 1

c

c

1 α

1

.

α

A 1

A

Rozwiązanie Z ( założenie ) : ∆

T ( teza ) : a b

a b = 1 1

, a c

a c = 1 1

oraz b c

b c = 1 1

∆ . ABC A B C  1 1 .

.

Dowód: Z podobieństwa trójkątów ABC i A B C 1 1 1 wynika, że: a a b b 1 1 = , skąd a b a b = 1 1 ,

zamiana wyrazów środkowych

b c c 1 1 c c 1 1 a a b

= , skąd b c = , skąd a c

b c = 1 1

,

zamiana wyrazów środkowych

a c = 1 1

c.n.w.

zamiana wyrazów środkowych

Ćwiczenie 2. Trójkąty ABC i DEF są podobne, czyli ∆

∆ . ABC DEF  .

a) Wskaż pary kątów równych.

b) Wskaż pary boków proporcjonalnych.

F

36°

C

C

16

B

A

24

20°

F 124°

15

10

8

B

E

A

E

D

D

20°

12

W trójkącie I W trójkącie II Zauważamy, że a b = 4 3 a b 1 1 8 6 4 3 = = a b a b = 1 1 Ćwiczenie 3. Trójkąty przedstawione na rysunku są podobne. Przerysuj tabelę do zeszytu i uzupełnij ją.

1

a c b c

a c b c

a c b c

1 1 1 1

=

=

=

1

=

=

=

W trójkątach prostokątnych podobnych o kącie ostrym a stosunki długości odpowiednich boków są równe. Stosunki te są wartościami pewnych funkcji, które nazywamy funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego a .

21

2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Przypomnijmy

a , b – miary kątów ostrych w trójkącie prostokątnym, gdzie α β + = ° 90 , c – długość przeciwprostokątnej, a – długość przyprostokątnej przeciwległej kątowi a (przyprostokątna przyległa do kąta b ), b – długość przyprostokątnej przyległej kątowi a (przyprostokątna przeciwległa do kąta b ).

B

C

A

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprosto- kątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Twierdzenie Pitagorasa

Pitagoras (ok. 572–497 p.n.e.)

Ćwiczenie 4. Uwzględnij dane przedstawione na rysunku i oblicz długość boku ozna- czonego literą x . a) b)            c)        d)

4 5

17 3

13

3 5

15 3

5

Ćwiczenie 5. Sprawdź, czy suma kwadratów dwóch pierwszych liczb jest równa kwa- dratowi trzeciej liczby: a) 2, 3, 4, b) 3, 4, 5, c) 3, 4, 5, d) 6, 8, 10, e) 12, 13, 14, f) 300, 400, 500.

Ćwiczenie 6. Narysuj wszystkie przedstawione na rysunku trójkąty prostokątne o kącie ostrym a i oblicz:

7

A B OA

A B OA

A B OA

3 3 3

1 1 1

2 2 2

,

,

.

4 3

6

2

6

22

2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Jeśli w trójkącie prostokątnym przyporządkowujemy kątowi ostremu a liczbę, która jest stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta a do drugiej przyprostokątnej, to takie jednoznaczne przyporządkowanie jest funkcją trygonometryczną kąta ostrego, którą nazywamy tangensem kąta a (w skrócie tg a ).

zapis: tg a funkcja tangens

a b

a

c

a

α

a b

b

α > ° 0 i α < ° 90

> 0

Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokąt- nym nazywamy stosunek długości przyprostokąt- nej przeciwległej temu kątowi do długości drugiej przyprostokątnej.

a b b a

tg α =

tg β =

Ćwiczenie 7. Uwzględnij dane przedstawione na rysunku i oblicz tangens kąta a . a)     b)      c)     d)

Ćwiczenie 8. Przyjmij oznaczenia jak na rysunku i oblicz tangens każdego z kątów ostrych trójkąta. a)        b)            c)

3

2

23

2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Ćwiczenie 9. Przerysuj trójkąt do zeszytu i jego wierzchołki oznacz takimi literami, aby równość zapisana pod rysunkiem trójkąta była prawdziwa oraz w miejsce wpisz odpowiedni iloraz długości boków.

δ

AC BC

KL KM

HP GP

AC AB

tg β =

,

tg γ =

,

tg β =

,

,

tg α =

tg α =

,

tg δ =

,

tg α =

,

tg β =

.

Przykład 2. Zbuduj trójkąt prostokątny o kącie ostrym a takim, że tg α = 3 5 . Ile jest takich trójkątów? Rozwiązanie. Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku. Z definicji tg α = =

3 5 , więc a b . Z własności proporcji przy ustalonej jednostce możemy przyjąć np.: 3 5

a b

a b

6 10

3 5

= =

= =

  

  

lub ... .

lub

Konstruujemy kąt prosty i zgodnie z oznaczeniami na rysunku odkładamy

na jego ramionach odcinki długości a oraz b , wykorzystując dowolną spośród wyżej po- danych par liczb a i b . Trójkątów spełniających warunki zadania jest nieskończenie wiele.

Ćwiczenie 10. Zbuduj trójkąt prostokątny o kącie ostrym a takim, że: a) tg α = 1 2, , b) tg α = 2. W trójkącie prostokątnym nie zawsze podane są długości przyprostokątnych. Często należy obliczyć ich długości, stosując twierdzenie Pitagorasa.

α

Ćwiczenie 11. Uwzględnij dane przedstawione na rysunku i oblicz tg a .

5

x

3

24

2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Odpowiedzi do ćwiczeń 1. Trójkąty są podobne, bo mają; a) boki proporcjonalne, b) , c) po jednym kącie ostrym równym. 2. a) , b) Wszystkie kąty trójkąta ABC mają taką samą miarę, jak kąty trójkąta ABD oraz bok AB jest wspólny, c) różnej długości są przyprostokątne AB w trójkącie ABC i AD w trójkącie ABD .

3. W trójkącie I W trójkącie II Zauważamy, że a b = 4 3 a b 1 8 6 4 3 = = a b a b = 1 1 1

4. a) x = = 50 5 2 , b) x = 12, c) x = 5 5 , d) x = 8 3. 5. Tak: b) , d) , f) , nie: a) , c) , e) .

a c b c

a c = 1 1 b c = 1 1

a c b c

8 10 6 10

4 5 3 5

a c b c

4 5 3 5

1 1 1 1

= =

=

= =

=

A B OA

A B OA

A B OA

1 2

7

3 3 3

1 1 1

2 2 2

6.

= .

=

=

4

3

6

6 2 +

6 2 6 + +

. 8. a) tg α = 1 5, , tg β = 2 3

6

6

4 3

3 4

7. a) 4 5

, b) 5 8

, c) 2, d) 3 7

, b) tg α =

, c) tg β =

, tg β =

, tg γ =

.

2

3

9.

L

A

A

C

δ

BC AC

KM KL

GP PH

AB AC

K

P

tg α =

, tg δ =

,

tg α =

,

tg β =

.

B

G

H

C

B

M

3 4 , gdzie x = − 5 3 2 2 .

11. tg α =

Zadania utrwalające 2.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Trójkątem prostokątnym jest trójkąt o bokach mających długości: A. 2, 4, 6, B. 5 , 12 , 13 , C. 10, 24, 26,

D. 10, 15, 20.

2.2. Uwzględnij dane przedstawione na rysunku i oblicz długość boku oznaczonego literą x . a)    b)  c)  d) 

5 2

6 3

16

5 5

4 3

5

8

25

2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

2.3. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Każde dwa trójkąty przystające są podobne. P F Trójkąt prostokątny o kącie ostrym 17° nie jest podobny do trójkąta o kącie ostrym 73°. P F

B

D

2.4. Uzasadnij, że trójkąty ABC i ABD przedstawione na rysunku są podobne. D

60°

C

30°

A

2.5. Na rysunku przedstawiono dwa trójkąty podobne. Oblicz długości boków a 1 i c 1 , wiedząc, że a b = 3.

c

a

c

1

a

1

α

α 1 9 b =

b

2.6. Uwzględnij dane przedstawione na rysunku i oblicz tangens kąta a . a) b) c) d)

1 2

2.7. Uwzględnij dane przedstawione na rysunku i oblicz tangens kąta a . a) b) c)

10 3

8 3

2.8. Uwzględnij dane przedstawione na rysunku. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. A. tg γ = , B. tg γ = ,

C

B

AC BC AB BC

AB CB

A

AC AB

D. tg β =

C. tg β =

,

.

26

2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

A

α

2.9. W trójkącie prostokątnym ABC , przedstawionym na rysunku, tg α = 2. Oblicz długości boków BC i AB .

3

B

C

2.10. Uwzględnij dane przedstawione na rysunku i oblicz tg a oraz tg b . a) b) c)  5 5

3 5

2.11. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Uwzględnij dane przedstawione na rysunku i wskaż trójkąt, w którym tangens jednego z kątów ostrych jest równy 5 12 . A. B. C. D.

2.12. Zbuduj trójkąt prostokątny o kącie ostrym a takim, że: a) tg α = 3, b) tg α = ,

1 2

c) tg α = 10.

2.13. Uzasadnij, że jeżeli w trójkącie prostokątnym kąt a jest kątem ostrym, to α > ° 0 i α < ° 90 oraz tg α > 0. D

Sinus i cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Ćwiczenie 12. Wypisz trójkąty podobne przed- stawione na rysunku. Oblicz stosunki długości:

A B OB

A B OB

A B OB

3 3 3

1 1 1

2 2 2

,

,

.

O

Zauważamy, że w trójkątach prostokątnych podobnych OA B 1 1 stosunki długości przyprostokątnych leżących naprzeciw kąta a do długości przeciwprostokątnych są równe. Stosunki te nazywamy sinusem kąta a (w skrócie sin a ). , OA B 2 2 i OA B 3 3

27

2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

zapis: sin a funkcja sinus

a c

a

c

a

a c

> 0 i a c

α

α > ° 0 i α < ° 90 .

< 1

b

Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości przeciwprostokątnej.

a c

sin α =

b c

sin β =

Ćwiczenie 13. Uwzględnij dane przedstawione na rysunku i oblicz sinus kąta a . a)                 b)  c)     d)

Ćwiczenie 14. Przerysuj trójkąt do zeszytu i jego wierzchołki oznacz takimi literami, aby równość zapisana pod rysunkiem była prawdziwa. a)                 b)           c)

BC AB

BC AC

AC AB

sin α =

,

sin α =

,

sin α =

.

Przykład 3. Zbuduj kąt ostry a , wiedząc, że sin α = 2 3 . Rozwiązanie. Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku. Z definicji sinusa dla trójkąta prostokątnego ABC sin α = a c , więc a c = 2 3 , czyli możemy przyjąć,

a c

a c

4 6

2 3

= =

= =

  

  

lub ... .

lub

np.

28

2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Opis konstrukcji. 1° Konstruujemy kąt prosty o wierzchołku C . 2° Na jednym z ramion odkładamy odcinek o długości dwóch jednostek i otrzymujemy punkt B . 3° Z punktu B , jako środka okręgu, kreślimy okrąg o promieniu równym trzem jednost- kom. 4° Otrzymujemy punkt A z przecięcia się okręgu z drugim ramie- niem kąta prostego, zatem α = < ) CAB . Dowód poprawności konstrukcji: ponieważ = i sin α = , więc sin α = .

BC AB

BC AB

2 3

2 3

Ćwiczenie 15. Zbuduj kąt ostry a , wiedząc, że sin α = 1 2 .

Ćwiczenie 16. Uwzględnij dane przedstawione na

OA OB

OA OB

OA OB

3 3

1 1

2 2

rysunku i sprawdź, czy

.

= =

Zauważamy, że w trójkątach prostokątnych podobnych OA B 1 1 , OA B 2 2 i OA B 3 3 stosunki długości przyprostokątnych leżących przy kącie a do długości przeciwprostokątnych są równe. Stosunki te nazywamy cosinusem kąta a (w skrócie cos a ).

zapis: cos a funkcja cosinus

b c

a

c

a

b c

> 0 i b c

α > ° 0 i α < ° 90 .

α

< 1 .

b

Cosinusem kąta ostrego w trójkącie pro- stokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta a do długości przeciwprostokątnej.

b c

cos α =

a c

cos β =

29

2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Ćwiczenie 17. Uwzględnij dane przedstawione na rysunku i oblicz cosinus kąta a oraz cosinus kąta b. a)              b)  c)

Ćwiczenie 18. Zbuduj kąt ostry a , wiedząc, że cos α = 3 4 . Ćwiczenie 19. Przerysuj trójkąt do zeszytu i jego wierzchołki oznacz takimi literami, aby równość zapisana pod rysunkiem była prawdziwa. a)   b)        c)                 d)

AC BC

KL KM

HP GP

AC AB

sin β =

,

cos γ =

,

sin β =

, cos α =

.

Uwaga. Wartości funkcji sinus i cosinus kąta ostrego a są liczbami mniejszymi od 1.

Ćwiczenie 20. Wyjaśnij, korzystając z definicji funkcji sinus, że sin α < 1 i sin α > 0.

Odpowiedzi do ćwiczeń 12. ∆ ∆

A B OB

A B OB

A B OB

1 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

13. a) 3 5

, b) 4 5

, c) 7 15

, d) 1 3 .

∆ . OA B OA B OA B 1 1 2 2 3 3 ~ ~ ,

= .

=

=

OA OB 3 5 = = = . OA OB

OA OB

8 17

15 17

4 5

3 5

12 37

35 37

3 3

1 1

2 2

16.

17. a) cos α =

, b) cos α =

, c) cos α =

, cos β =

, cos β =

, cos β =

.

20. Zauważ, że sinus kąta ostrego jest stosunkiem przyprostokątnej do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, więc licznik tego ułamka jest mniejszy od mianownika.

Zadania utrwalające 2.14. Uwzględnij dane przedstawione na rysunku i oblicz sinus oraz cosinus kąta a . a) b) c) 6

30

2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

2.15. Przerysuj trójkąt do zeszytu i jego wierzchołki oznacz takimi literami, aby równość zapisana pod rysunkiem była prawdziwa. a)  b)  c)

AC BC

AC BC

MN KM

sin α =

,

cos α =

,

sin α =

.

2.16. Zbuduj kąt ostry a , gdy: a) sin α = ,

3 4

1 3

b) cos α =

.

2.17. Przerysuj trójkąt do zeszytu i jego długości boków oznacz takimi literami, aby rów- ności zapisane pod rysunkiem były prawdziwe. a)  b)  c)

m l

m k

a b

c a

l p

m p

sin α =

cos α =

i tg α =

,

i tg α =

, sin α =

i cos α =

.

2.18. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Spośród zapisów: sin α = k m , tg α = k l , cos α = k m dla trójkąta prostokątnego przedstawionego na rysunku poprawnymi są A. , , , B. tylko i , C. tylko i , 2.19. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Przyprostokątne w trójkącie prostokątnymmają długości 12 i 5. Cosinus najmniejszego kąta w tym trójkącie jest równy A. 5 12 , B. 5 13 , C. 12 13 , D. 13 12 . 2.20. Uzasadnij, korzystając z definicji funkcji cosinus, że cos α > 0 i cos α < 1 . 2.21. Podaj przykładowe wymiary przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, o kącie ostrym a , gdy: a) tg α = 20, b) tg α = 10 000, c) sin α = , d) cos α = . D. tylko i .

D

1 5

8 17

31

2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

2.22. Przyjmij oznaczenia jak na rysunku.

a b

c

sin a cos a

tg a

6 8 10 4 4 3

1 2

2 3

4

2 13

Przerysuj tabelę do zeszytu i w miejsce wpisz odpowiednią liczbę.

4 5

3

5

2.23. Uwzględnij dane przedstawione na rysunku oraz podaną wartość funkcji trygonome- trycznej i oblicz pozostałe długości boków trójkąta ABC . a) b) c)

4

2

3

1 4 , cos α =

1 3

3 4

sin α =

,

tg α =

.

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60°

Przykład 4. Oblicz wartości funkcji sinus i tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym równoramiennym.

A

Rozwiązanie. Ponieważ trójkąt jest równoramienny, więc kąty ostre tego trójkąta mają miary 45°. Przyjmujemy oznaczenia jak na ry- sunku. W trójkącie ABC : c a a 2 2 2 = + , czyli c a 2 2 2 = , skąd c a = 2. Zatem sin 45 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ° = = = = ⋅ = a c a a , tg 45 1 ° = = a a .

B

C

, tg 45 1 ° = .

Odp.: sin 45 2 2 ° =

Ćwiczenie 21. Oblicz cos 45°.

Page 1 Page 2 Page 3 Page 4 Page 5 Page 6 Page 7 Page 8 Page 9 Page 10 Page 11 Page 12 Page 13 Page 14 Page 15 Page 16 Page 17 Page 18 Page 19 Page 20 Page 21 Page 22 Page 23 Page 24 Page 25 Page 26 Page 27 Page 28 Page 29 Page 30 Page 31 Page 32 Page 33 Page 34 Page 35 Page 36 Page 37 Page 38 Page 39 Page 40 Page 41 Page 42 Page 43 Page 44 Page 45 Page 46 Page 47 Page 48 Page 49 Page 50 Page 51 Page 52 Page 53 Page 54 Page 55 Page 56 Page 57 Page 58 Page 59 Page 60 Page 61 Page 62 Page 63 Page 64 Page 65 Page 66 Page 67 Page 68 Page 69 Page 70 Page 71 Page 72 Page 73 Page 74 Page 75 Page 76 Page 77 Page 78 Page 79 Page 80 Page 81 Page 82 Page 83 Page 84 Page 85 Page 86 Page 87 Page 88 Page 89 Page 90 Page 91 Page 92 Page 93 Page 94 Page 95 Page 96 Page 97 Page 98 Page 99 Page 100 Page 101 Page 102 Page 103 Page 104 Page 105 Page 106 Page 107 Page 108 Page 109 Page 110 Page 111 Page 112 Page 113 Page 114 Page 115 Page 116 Page 117 Page 118 Page 119 Page 120 Page 121 Page 122 Page 123 Page 124 Page 125 Page 126 Page 127 Page 128 Page 129 Page 130 Page 131 Page 132 Page 133 Page 134 Page 135 Page 136 Page 137 Page 138 Page 139 Page 140 Page 141 Page 142 Page 143 Page 144 Page 145 Page 146 Page 147 Page 148 Page 149 Page 150 Page 151 Page 152 Page 153 Page 154 Page 155 Page 156 Page 157 Page 158 Page 159 Page 160 Page 161 Page 162 Page 163 Page 164 Page 165 Page 166 Page 167 Page 168 Page 169 Page 170 Page 171 Page 172 Page 173 Page 174 Page 175 Page 176 Page 177 Page 178 Page 179 Page 180 Page 181 Page 182 Page 183 Page 184 Page 185 Page 186 Page 187 Page 188 Page 189 Page 190 Page 191 Page 192 Page 193 Page 194 Page 195 Page 196 Page 197 Page 198 Page 199 Page 200

Made with FlippingBook - Online catalogs