è più grande di quello dei naturali.
A questo punto chiediamoci se tutti i reali nell’intervallo considerato siano effettivamente compresi nella lista o se invece ne manchi qualcuno. Dice Cantor: sicuramente
quella dell’insieme potenza P(A) contenente tutti i sottoinsiemi di A. Concludere che il numero costruito da Cantor per diagonalizzazione è diverso da tutti quelli nella lista significa considerare come terminato un procedimento potenzialmente infinito. I
Prima di descrivere l’idea centrale della dimostrazione occorre precisare che, secondo la definizione proposta dallo stesso Cantor, due insiemi hanno la stessa cardinalità quando gli elementi di uno possono essere messi in corrispondenza 1-1 con gli elementi dell’altro. Così i numeri pari sono tanti quanti tutti i numeri naturali, perché ogni “n” può essere associato a “2n” e viceversa. Oppure, citando ancora Borges, «se i primogeniti di tutte le case d’Egitto furono uccisi dall’Angelo, a eccezione di coloro che abitavano in una casa sulla cui porta era tracciato un segno rosso, è evidente che se ne salvarono tanti quanti erano i segni rossi». Il ragionamento di Cantor procede come segue. Supponiamo che i numeri reali compresi tra 0 e 1 possano essere messi in corrispondenza 1-1 con i numeri naturali, ad esempio:
mancherà quello che differisce dal primo
numero nell’elenco per la prima cifra decimale, dal secondo per la seconda cifra, dal terzo per la terza e così via. Dunque, in numeri reali non possono essere messi in corrispondenza 1-1 con i naturali, mentre
matematici avrebbero potuto interpretare la
costruzione di Cantor come la riduzione all’assurdo di un uso alquanto disinvolto dell’infinito attuale: se pretendi d’impugnare un numero la cui costruzione necessita di un tempo infinitamente lungo, allora devi ammettere la possibilità di avere due infiniti, uno “più grande” dell’altro.
ovviamente i reali già contengono i naturali.
Successivamente, Cantor sviluppò questo primo risultato dimostrando che la cardinalità di un qualsiasi insieme A è sempre strettamente inferiore a
1 – > 0,2322678... 2 – > 0,4590333... 3 – > 0,7778865... 4 – > 0,6557673...
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