RITMI E FREQUENZE, LA MATEMATICA DELLA REALTÀ
di Massimo Picardello*
Il mondo che ci circonda è attraversato da ritmi. Alcuni sono immediati, come il battito del cuore, il respiro o le onde del mare. Altri più sottili: la musica che ascoltiamo, la luce catturata da una fotocamera digitale, i segnali che viaggiano nei cavi delle telecomunicazioni. Tutti questi fenomeni possono essere descritti come segnali, intrecci di ritmi lenti e veloci. Per studiarli, la scienza si affida a uno strumento efficace: la trasformata di Fourier. Questo strumento matematico scompone un segnale nei suoi mattoni fondamentali, onde semplici dette sinusoidi. In altre parole, traduce un segnale complesso in frequenze: mostra quali armoniche sono presenti e con quale intensità. È come ascoltare un’orchestra e distinguere violino, flauto o tamburo. Ogni ritmo è una successione di note, più o meno veloci: ascoltandole istante per istante si percepiscono i diversi andamenti.
Ogni strumento ha un timbro, cioè uno spettro di armoniche con rapporti caratteristici; isolando quella banda nella trasformata di Fourier possiamo riconoscerlo, in modo simile a ciò che fa il nostro udito. Ogni segnale ha quindi una doppia identità: nel dominio del tempo appare come un’onda complicata, nel dominio delle frequenze come un insieme di componenti semplici. Le frequenze basse descrivono la struttura generale, le alte i dettagli. In un’immagine, le prime rappresentano aree uniformi e contrasti principali, le seconde contorni e trame sottili. In musica, i bassi danno profondità, gli acuti brillantezza. La tramite campionamento, cioè misurando il segnale a intervalli regolari. Si potrebbe pensare che questo restituisca solo un’approssimazione, ma il teorema di Shannon mostra che, se eseguito correttamente, il campionamento ricostruisce esattamente il segnale. Se però il passo è troppo lungo, si hanno perdite. Una sinusoide, ad esempio, se campionata solo nei suoi zeri, appare nulla. registrazione avviene
* Professore ordinario di Analisi matematica - picard@mat.uniroma2.it
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