Podręcznik 2 - LO i T - rozszerzony + podstawowy

M A T E M A T Y K A

Alicja Cewe Małgorzata Krawczyk Maria Kruk Alina Magryś-Walczak Halina Nahorska

MA T E MA T Y K A i przykłady jej zastosowań zakres podstawowy i rozszerzony

Podręcznik dla absolwentów ośmioletniej szkoły podstawowej Podręcznik 2 licea ogólnokształcące technika

Oznaczenia graficzne

Definicja Na zielonym tle umieszczono definicje.

Twierdzenie Na niebieskim tle umieszczono twierdzenia.

Na szarym tle umieszczono uwagi, które są podsumowaniem ważnych treści; warto je zapamiętać. Na fioletowym tle umieszczono ćwiczenia przewidziane jako zadania domowe, ponieważ ich rozwiązanie wymaga większej ilości czasu niż inne. Na żółtym tle umieszczono zadania otwarte i zamknięte różnego rodzaju pod hasłem Zestaw powtórkowy . W pomarańczowej ramce umieszczono te treści, które powinny być znane z wcześniejszych lat nauki. Przypomnijmy

R

Na niebieskim tle umieszczono numery zadań o podwyższonym stopniu trudności. Symbol zeszytów na marginesie oznacza, że przykłady z ćwiczenia lub zadania należy rozwiązać w zeszycie; odpowiedzi do tych zadań i ćwiczeń nie należy wpisywać w podręczniku . Niebieski pasek na marginesie książki oznacza treści przeznaczone tylko dla zakresu rozszerzonego.

6.32.

Literka D przy numerze zadania oznacza zadanie na dowodzenie.

2.48. D

Skróty : c.n.u. – co należało uzasadnić (udowodnić), cnw. – co należało wykazać, ckd. – co kończy dowód.

Alicja Cewe Małgorzata Krawczyk Maria Kruk Alina Magryś-Walczak Halina Nahorska

MA T E MA T Y K A i przykłady jej zastosowań zakres podstawowy i rozszerzony Podręcznik 2

Gdańsk

Autorki: Alicja Cewe, Małgorzata Krawczyk, Maria Kruk, Alina Magryś-Walczak, Halina Nahorska Opracowanie edytorskie i redakcyjne: Alicja Cewe, Halina Nahorska, Alina Magryś-Walczak Konsultacja polonistyczna: Beata Różańska Projekt okładki: Alicja Cewe Skład i ilustracje: Jarosław Mach

Podręcznik zgodny z podstawą programową kształcenia ogólnego w liceach ogólnokształcących i technikach – zakres podstawowy i rozszerzony, określoną w rozporządzeniu Ministra Edukacji Narodowej z dnia 30 stycznia 2018 roku (Dz.U. z 2018 r., poz. 467.)

ISBN 978-83-65120-73-1 © Copyright by Wydawnictwo Podkowa Gdańsk, ul. Paganiniego 17/17

Spis treści

Wstęp .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1. Nierówności kwadratowe . . . . . . . . . . . 7 Odczytywanie własności funkcji kwadratowej z jej wykresu .. . . . . . . . . . . . . 7 Nierówności kwadratowe . . . . . . . . . . . . . 10 Nierówności kwadratowe – ciąg dalszy .. 15 Układy nierówności liniowych i kwadratowych z jedną niewiadomą .. . . 20 kwadratowych i ich układów .. . . . . . . . . . 22 Równania kwadratowe z parametrem . . . 25 Nierówność i funkcja kwadratowa z parametrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Zestaw powtórkowy .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2. Funkcje trygonometryczne kątów o miarach od 0° do 180° . . . . 40 Pojęcie kąta skierowanego i określenie funkcji trygonometrycznych kątów od 0° do 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Przykłady zastosowań funkcji trygonometrycznych kątów od 0° do 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Zestaw powtórkowy .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3. Prosta na płaszczyźnie kartezjańskiej i interpretacja geometryczna układu równań liniowych .. . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Odległość dwóch punktów na Przykłady zadań prowadzących do rozwiązywania nierówności płaszczyźnie kartezjańskiej . . . . . . . . . . . . 56 Równanie prostej w postaci ogólnej .. . . . 59 Równanie prostej w postaci kierunkowej . 63 Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie kartezjańskiej . . . . . . . . . . . . 72 Interpretacja geometryczna układów dwóch równań liniowych .. . . . . . . . . . . . . 81 Odległość punktu od prostej i odległość dwóch prostych równoległych .. . . . . . . . . 85 Zestaw powtórkowy .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4. Wektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Pojęcie wektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Suma i różnica wektorów swobodnych .. 92 Iloczyn wektora swobodnego przez liczbę . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Wektor na płaszczyźnie kartezjańskiej .. . 99 Działania na wektorach w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Zestaw powtórkowy .. . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5. Kąty w kole i styczna do okręgu . . 113 Kąt środkowy i pole wycinka koła .. . . . 113 Kąt wpisany i jego związek z kątem środkowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Styczna do okręgu i jej własności .. . . . . 124 Okręgi styczne i ich własności . . . . . . . . 131 Zestaw powtórkowy .. . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6. Okręgi na płaszczyźnie kartezjańskiej .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Równanie okręgu .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Wzajemne położenie prostej i okręgu . . 142 Wyznaczanie równań stycznych do okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Zestaw powtórkowy .. . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Spis treści

4

7. Układy równań z dwiema niewiadomymi, z których przynajmniej jedno jest drugiego stopnia .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Układy równań z dwiema niewiadomymi, z których jedno jest liniowe, a drugie stopnia drugiego . . . . . 150 Interpretacja geometryczna układów równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Układy równań z dwiema niewiadomymi, z których każde jest drugiego stopnia .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Zestaw powtórkowy .. . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8. Rodzaje trójkątów i ich punkty szczególne .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Rodzaje trójkątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Środek ciężkości trójkąta i jego własności .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Ortocentrum trójkąta i jego własności .. 175 Środek okręgu opisanego na trójkącie .. 179 Środek okręgu wpisanego w trójkąt i twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Trójkąty i ich punkty szczególne na płaszczyźnie kartezjańskiej . . . . . . . . . . . 191 Zestaw powtórkowy .. . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9. Obrazy figur w symetrii względem osi układu współrzędnych i względem jego początku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Obrazy figur w symetrii względem osi układu współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . 201 Obrazy figur w symetrii względem początku układu współrzędnych .. . . . . . 207 Zestaw powtórkowy .. . . . . . . . . . . . . . . . . 211

10. Przekształcanie wykresów funkcji . 213 Przekształcanie wykresów funkcji przez symetrię względem osi układu współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Przesunięcie wykresu funkcji równolegle do osi y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Wykres funkcji y f x    . . . . . . . . . . . . 227 Zestaw powtórkowy .. . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11. Wzory skróconego mnożenia . . . . . 232 Sześcian sumy i różnicy dwóch wyrażeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Suma i różnica sześcianów dwóch wyrażeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Zestaw powtórkowy .. . . . . . . . . . . . . . . . . 246 12. Wielomiany .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Wielomiany jednej i wielu zmiennych .. 247 Równość wielomianów .. . . . . . . . . . . . . . 250 Suma, różnica oraz iloczyn wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Dzielenie wielomianu przez dwumian .. 256 Schemat Hornera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Pierwiastki wielomianu jednej zmiennej i twierdzenie Bézouta . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Twierdzenia o pierwiastkach wielomianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Rozkładanie wielomianów na czynniki . 273 Równania wielomianowe .. . . . . . . . . . . . 278 Równanie typu x a n = . . . . . . . . . . . . . . . 285 Nierówności wielomianowe . . . . . . . . . . 289 Zestaw powtórkowy .. . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Spis treści

5

13. Wyrażenia wymierne . . . . . . . . . . . . . 297 Wyrażenie wymierne i jego dziedzina .. 297 Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Działania na wyrażeniach wymiernych . 306 Równania wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Nierówności wymierne .. . . . . . . . . . . . . . 316 Przykłady zadań prowadzących do rozwiązywania równań wymiernych . . . 320 Zestaw powtórkowy .. . . . . . . . . . . . . . . . . 324

Odpowiedzi i wskazówki .. . . . . . . . . 326 1. Nierówności kwadratowe . . . . . . . . 326 2. Funkcje trygonometryczne kątów od 0° do 180° .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 3. Prosta na płaszczyźnie liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 4. Wektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 5. Kąty w kole i styczna do okręgu . . 337 6. Okręgi na płaszczyźnie kartezjańskiej .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 7. Układy równań z dwiema niewiadomymi, z których przynajmniej jedno jest drugiego stopnia .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 8. Rodzaje trójkątów i ich punkty szczególne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 9. Obrazy figur w symetrii względem osi układu współrzędnych i względem jego początku .. . . . . . . 350 kartezjańskiej i interpretacja geometryczna układu równań 10. Przekształcanie wykresów funkcji . 352 11. Wzory skróconego mnożenia . . . . . 355 12. Wielomiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 13. Wyrażenia wymierne . . . . . . . . . . . . 364

Wstęp Książka „ Podręcznik 2 – zakres podstawowy i rozszerzony ” z serii Mate - matyka i przykłady jej zastosowań jest adresowana do uczniów klasy drugiej liceum ogólnokształcącego i technikum, którzy ukończyli ośmioletnią szkołę podstawową. Jest w nim wystarczająca liczba zadań i ćwiczeń, by nabyć umiejętności wymie- nione w podstawie programowej z dnia 30 stycznia 2018 roku (Dz.U. z 2018 r., poz. 467). W końcowej części każdego realizowanego tematu lekcji zamieszczono zada- nia pozwalające na utrwalenie wiadomości (zadania utrwalające). Odpowiedzi do zadań utrwalających znajdują się na ostatnich stronach książki. Odpowiedzi do ćwiczeń są umieszczone w fioletowej ramce przed każdym zestawem zadań utrwalających. Każdy rozdział kończy się zestawem powtórkowym, w którym są zadania otwarte i zamknięte. Przy rozwiązywaniu problemów można korzystać z dostępnych narzędzi, czyli encyklopedii, tablic matematycznych, kalkulatorów i komputerów.

Życzymy powodzenia, autorki.

1. Nierówności kwadratowe

Odczytywanie własności funkcji kwadratowej z jej wykresu W klasie pierwszej poznaliście funkcję kwadratową, jej wykres i własności oraz sposoby:

• • obliczania jej miejsc zerowych, • • wyznaczania zbioru jej wartości,

• • określania jej znaków, • • określania przedziałów monotoniczności.

Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych niezbędna jest umiejętność szkicowania wykresu funkcji kwadratowej (tzw. linii znaku) i odczytywania z niego znaków jej wartości.

Przypomnijmy

Wzory funkcji kwadratowej, gdzie   a 0

f x ax bx c      2 ,    b ac 2 4   0 , to x b a 1 2     i x b a 2 2     ,   0 , to x b a 0 2   ,   0 , to funkcja f nie ma miejsc zerowych

Postać ogólna

f x a x p q        2 W p q    , – współrzędne wierzchołka paraboli wykresu funkcji f , gdzie p b a   2 i q a   4 f x a x x x x          1 2 , gdy   0 , x 1 , x 2 – miejsca zerowe, f x a x x       0 2 , gdy   0 , x 0 – miejsce zerowe, W p q    , , gdzie p x x   1 2 2 i q f p a x x         1 2 2 4

Postać kanoniczna

Postać iloczynowa

Ćwiczenie 1. a) Czy każdy wzór funkcji kwadratowej podany w postaci ogólnej można przedstawić w postaci iloczynowej? Odpowiedź uzasadnij. b) Czy każdy wzór funkcji kwadratowej podany w postaci iloczynowej można przed - stawić w postaci kanonicznej? Odpowiedź uzasadnij.

8

1. Nierówności kwadratowe

Przykład 1. Oblicz miejsca zerowe funkcji f , gdy: a) f x x x           3 1 5 , b) f x x        1 16 2 . Rozwiązanie Obliczyć miejsca zerowe funkcji f , to znaczy rozwiązać równanie f x    0 . a)         3 1 5 0 x x x   1 0 lub x   5 0 x   1 lub x = 5 . a b   0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0 lub b = 0 . b) I sposób x      1 16 0 2 x     1 16 2 x   1 16 x   1 4 x    1 4 lub x   1 4 x   5 lub x = 3 . x a 2 = i a ≥ 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x a = . x a = II sposób x      1 16 0 2 x      1 4 0 2 2 x x          1 4 1 4 0 x x        3 5 0 x   3 0 lub x   5 0 x = 3 lub x   5 . a b 2 2          a b a b .

i a > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x a   .

III sposób x      1 16 0 2 x x 2 2 1 16 0     x x 2 2 15 0    x 1 2 8 2 5      , x 2

  64 ,   8

 

2 8

   , x b 

  

3  .



x b 1 

2

2

a

a

2

2

5 = , b) x 1

Odp.: a) x 1

1   , x 2

5   , x

3 = .

2

Ćwiczenie 2. Oblicz miejsca zerowe funkcji f , gdy: a) f x x x          5 3 1 , b) f x x         2 1 2 , c) f x x x        5 , d) f x x        3 1 12 2 . Ćwiczenie 3. Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f , na którym zaznaczono punkty A , B i C . Wykonaj odpowiednie obliczenia i podaj ich współrzędne. a) f x x x      2 2 , b) f x x x       1 2 6 , c) f x x        2 9 2 .

y

y

A

y

y f x   

y f x   

y f x   

B

A B

C

B

A

C

x

0

x

x

0

0

C

9

Odczytywanie własności funkcji kwadratowej z jej wykresu

Ćwiczenie 4. Na rysunku przedstawiony jest wy- kres funkcji kwadratowej f określonej wzorem f x ax bx c      2 . Przepisz przykłady do zeszytu i w miejsce wpisz jeden ze znaków: „ > ”, „ < ” lub „ = ”. a) a 0, b) c 0, c) D 0, d) b 0.

y

x

0

Ćwiczenie 5. Wyznacz zbiór wartości funkcji f , gdy: a) f x x        4 3 5 2 , b) f x x x          1

3 , c) f x x x      2 6 8 .

Odpowiedzi do ćwiczeń 1. a) Nie, bo nie każda funkcja ma miejsca zerowe. b) Tak, bo wykresem każdej funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku W p q    , . 2. a) x 1 3   , x 2 1   , b) x 1 1 = , x 2 3 = , c) x 1 5   , x 2 0 = , d) x 1 3   , x 2 1 = . 3. a) A     1, 0 , B    0, 2 , C    2, 0 , b) A   , B    6, 0 , C    0, 0 ,

   3 4 1 2 ,

 

c) A     1, 0 , B    5, 0 , C     2, 9 . 5. a)    5; , b)   ; 4 , c)    1; .

4. a) a < 0 , b) c < 0 , c)   0 , d) b > 0 .

Zadania utrwalające

1.1. Oblicz miejsca zerowe funkcji f , gdy: a) f x x        2 1 2 ,

x x           4 3 3 ,

b ) f x d) f x

c) f x x        3 9 2 , x         2 4 8 2 . 1.2. Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f , na którym zaznaczono punkty A , B i C . Wykonaj odpowiednie obliczenia i podaj ich współrzędne, gdy: a) f x x x      2 6 , b) f x x x        4 , c) f x x         1 4 2 .

y

B

y

y

C

A

B

x

A

B

0

A

C

x

0

x

0

C

10

1. Nierówności kwadratowe

1.3. Na rysunkach od

do

przedstawione są szkice wykresów funkcji kwadratowych

określonych wzorem postaci f x ax bx c      2 .

y

y

y

y

x

x

x

0

0

0

x

0

Dla każdej z tych funkcji uzupełnij w zeszycie zapisy, wpisując w miejsce jeden ze znaków: „>”, „<” lub „=”. a) a 0, b) c 0, c) D 0, d) b 0. 1.4. Określ zbiór wartości funkcji f , gdy: a) f x x         3 2 2 , b) f x x x          2 3 , c) f x x x        4 1 , d) f x x x       3 4 2 2 . 1.5. Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej f , gdy: a) f x x        1 3 3 2 , b) f x x        2 4 2 , c) f x x x        4 , d) f x x x          3 2 , e) f x x x      2 8 8 2 , f) f x x x       2 4 5 .

Nierówności kwadratowe

Przypomnijmy

Jeśli z wykresu funkcji f odczytujemy jej: • znak, to określamy, dla jakich argumentów x wartości funkcji są dodatnie f x ( )    0 lub ujemne f x ( )    0 . Mówimy wówczas, że podajemy rozwiązanie nierówności f x ( ) > 0 lub f x ( ) < 0 ; • miejsca zerowe, to podajemy rozwiązanie równania f x ( ) = 0 .

y f x = ( )

y

x

y

Ćwiczenie 6. Odczytaj z wykresu funkcji f przedsta- wionego na rysunku rozwiązanie nierówności: a) f x    0 , b) f x    0 , c) f x    0 .

3

y f x   

1

x

–3

1 3

0

11

Nierówności kwadratowe

Umiejętność odczytywania z wykresu funkcji argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, ujemne lub równe zeru, jest bardzo przydatna w rozwiązywaniu nie- równości kwadratowych. Definicja Jeżeli   a 0 , to każdą z nierówności postaci: ax bx c 2 0    , ax bx c 2 0    , ax bx c 2 0    , ax bx c 2 0    n azywamy nierównością kwadratową z jedną niewiadomą x . a , b , c – współczynniki liczbowe trójmianu kwadratowego f x ax bx c      2 .

Przykład 2. Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f określonej wzorem f x x x        2 . Odczytaj

y f x = ( )

z wykresu rozwiązanie nierówności: a)      x x 2 0 , b)      x x 2 0 . Rozwiązanie

Miejsca zerowe 0 i 2 funkcji f podzieliły zbiór liczb rze- czywistych na trzy przedziały, w których określamy znak funkcji f i odczytujemy odpowiedź. a)      x x 2 0 , gdy x    0; 2 , b)      x x 2 0 , gdy x       ; ; 0 2 .

y f x = ( )

Ćwiczenie 7. Odczytaj z wykresu funkcji kwadratowej rozwiązanie nierówności zapi- sanej pod rysunkiem. a) b) y y W

y x x     2 2 3

y x x    2 2

1

1

x

1

–2

0

x

1

0

W

    x x 2

2 3 0

x x 2 2 0   

Współrzędne wierzchołka W paraboli y ax bx c    2 oraz jej punkt przecięcia z osią y nie mają wpływu na zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej. Istotne jest położenie wykresu funkcji względem osi x . Jedną z metod rozwiązywania nie- równości kwadratowych jest naszkicowanie wykresu funkcji uwzględniającego jej miejsca zerowe i znak współczynnika a przy x 2 .

12

1. Nierówności kwadratowe

Uwaga Przybliżony wykres funkcji kwadratowej, na którym nie uwzględnia się osi y , nazy - wamy linią znaku .

a < 0

a > 0

1 x

2 x

x

x

Przykład 3. Rozwiąż nierówność         x x 3 2 0 . Rozwiązanie I sposób Szkicujemy linię znaku funkcji f x x x

          3 2 i odczytujemy odpowiedź.

        x x 3 2 0 x x        3 2 0 x   3 0 lub x   2 0 x 1 3   , x 2 2 = .

Nierówność ma postać

a x x        3 2 0 , gdzie a   1 . Obliczamy miejsca zerowe funkcji

f x x           3 2 , dla której a < 0 i   0 . x

Szkicujemy linię znaku funkcji f i odczytujemy odpowiedź.

x

–3

0

1 2

Rozwiązaniem danej nierówności jest każda liczba należąca do przedziału − 3; 2 .

x   3; 2

II sposób Korzystamy z własności iloczynu.             x x 3 2 0 / 1 x x        3 2 0

a b   0 wtedy i tylko wtedy, gdy lub

0 0

0 0

a b

a b

 

 

  

  

x x x x

x x

   

   

     

  

3 0

3 0

lub

2 0

2 0

x x

   2

   2

  

3

3

lub

Układ nierówności nie ma rozwiązania.

   3 2 x .

   

1

Ćwiczenie 8. Rozwiąż nierówność: a) 2 4 1 0 x x        , . Ćwiczenie 9. Rozwiąż nierówność, rozkładając jej lewą stronę na czynniki: a) 4 1 0 2 x   , b)    5 10 0 2 x . b)      2 x x 2 0

13

Nierówności kwadratowe

Rozwiązując nierówności kwadratowe, często korzystamy z własności potęg parzystego stopnia. Przypomnijmy Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną. • • x 2 0 ≥ wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ R , • •   x 2 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0 ,

• • x 2 0 > wtedy i tylko wtedy, gdy x    R \ 0 , • • x 2 0 < – nierówność nie ma rozwiązania.

Ćwiczenie 10. Podaj rozwiązanie nierówności: a) x 2 1   , b) x 2 4   , c) x 2 2   , d) x 2 Odpowiedzi do ćwiczeń 6. a) x    ; 3 , b) x     3; , c) x        3 3; .

1   .

7. a) x     2;1 , b) x   1; 3 .

8. a) x      4; 1 , b) x ∈ 0 1 2 ; .  2; 2 . 10. a) x ∈ R , b) x ∈ R , c) nierówność nie ma rozwiązania, d) nierówność nie ma rozwiązania. 9. a) x       ;      ; 2 1 2 1 , b) x   

Zadania utrwalające

1.6. Na rysunku przedstawiony jest szkic wykresu funkcji kwadratowej f . Podaj rozwiązanie nierówności zapisanej pod rysunkiem. a) b) c)

y

y

y

y f x = ( )

1

1

y f x = ( )

1

1

1 2

0

0

x

x

1

0

x

y f x = ( )

f x    0

f x    0

f x    0

d)

e)

f)

y 1

y

y

1

0

x

1 2

y f x =

( )

y f x = ( )

y f x = ( )

1

1

0

1

0

x

x

f x    0

f x    0

f x    0

14

1. Nierówności kwadratowe

1.7. Odczytaj z linii znaku funkcji kwadratowej przedstawionej na rysunku rozwiązanie nierówności zapisanej pod nią. a) b) c)

x

0

1

x

–2

0

1 2

x

0

1

2 2        x x

      x 1 1 0 2

x x 2 2 1 0   

0

d)

e)

f)

x

–4

0

1 2

x

x

0

1

0

1

5 4 2 0 x x       

x      3 1 0 2

x 2

0 ≥

1.8. Rozwiąż nierówność: a) x x     1 0 ,

b)      2 3 0 x x , e) 4 2 3 0 x x     ,

0     x x ,

c) 3 1

f)      1 3

0 , x x     ,

d) 0 5 2

6 3 0 x x .

1.9. R ozwiąż nierówność: a) 4 8 0 2 x x   ,

1

b)

c) 5 10 0 2 x x   ,

6 0 2 x x   ,

2

d) 2 2 x x < ,

e) x x 2 5 > ,

f)

2 x x .

  3 2

1.10. R ozwiąż nierówność: a) x x        3 1 0 ,

b)         2 2 0 x x ,

c) 4 1 3 0 x x        ,

1

0 x        ,

5 6 x        , 0 x

f)         2 3 1 0 x x .

e) 1

d) 2 4 1 x

2

1.11. P odaj rozwiązanie nierówności: a) x 2 2   ,

b) 2 3 0 2 x > , e) 2 3 0 2 x   ,

c)   x 2 1 , f) 4 2 2   x .

d) x 2

2 0   ,

1.12. U zasadnij, że każda liczba rzeczywista x jest rozwiązaniem nierówności: a) x 2 1   , b) 2 1 2 2 2 2 x x          , c)    x 2 1 0 , d) x x 2 2 1   , e) 4 4 2 x x   , f) 3 1 3 x x x     . D

15

Nierówności kwadratowe – ciąg dalszy

Nierówności kwadratowe – ciąg dalszy

W klasie pierwszej poznaliście sześć możliwych położeń wykresów funkcji kwadratowej f x ax bx c      2 , w zależności od wyróżnika D i współczynnika a . Możliwych jest zatem sześć różnych linii znaku dla funkcji kwadratowej. a > 0 ,   0 a > 0 ,   0 a > 0 ,   0

x

x

1 x

2 x

0 x

x

a < 0 ,   0

a < 0 ,   0

a < 0 ,   0

x

0 x

x

x

1 x 2 x

Uwaga Rozwiązać nierówność kwadratową ax bx c 2 0   

ax bx c 2 0    0    z niewiadomą x , to znaczy odpowiedzieć na pytanie, dla jakich argumentów x funkcja kwadratowa f określona wzorem f x ax bx c      2 ma wartości: dodatnie nieujemne ujemne niedodatnie. f x ( )    0 f x      0 f x      0 f x      0 ax bx c 2 0    ax bx c 2

Przykład 4. Rozwiąż nierówność: a) x x 2 2 3 0    , b) 2 2

3         x x x .

Rozwiązanie a) x x 2 2 3 0   

Obliczamy miejsce zerowe funkcji f x x x      2 2 3 .

x x 2 2 3 0      16 ,   4 x 1 1   , x 2 3 =

Szkicujemy linię znaku dla przypadku a   0 0  i odczytujemy odpowiedź.

a > 0   0

  

x

–1

0

1 3

x x 2 2 3 0    , gdy x        ; ; 1 3 .

16

1. Nierówności kwadratowe

3         x x x

b) 2 2

Przekształcamy nierówność do postaci ax bx c 2 0    . Obliczamy miejsce zerowe funkcji f x x x      2 5 4 .   9 ,   3 .

3 2     x x x

4 2

x x 2 5 4 0    x x 2 5 4 0    x 1 1 = , x 2 4 =

a > 0   0

Szkicujemy linię znaku i odczytujemy odpowiedź.

x

0

1

4

2 2 3         x x x , gdy x    1; 4 .

Uwaga Rozwiązując nierówność kwadratową z użyciem linii znaku, należy: • • obliczyć miejsca zerowe odpowiedniej funkcji kwadratowej (jeżeli istnieją) lub stwierdzić, że nie istnieją, • • naszkicować linię znaku funkcji kwadratowej, • • odczytać z linii znaku zbiór argumentów, dla których nierówność jest spełniona.

x        3 2

x    .

Ćwiczenie 11. Rozwiąż nierówność: a) x x 2 2 0    , b) x

3 2 9

Przykład 5. Uzasadnij, że nierówność 2 7 12 0 2 x x    spełnia każda liczba rzeczy - wista x . Rozwiązanie Aby uzasadnić, że daną nierówność spełnia każda liczba rzeczywista x , wystarczy pokazać, że zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór R .

2 7 12 0 2 x x         49 96 47   0 , więc funkcja f nie ma miejsc zerowych.

Obliczamy miejsce zerowe funkcji f x x x      2 7 12 2 .

a > 0   0

Szkicujemy linię znaku funkcji f dla przypadku a   0 0  i odczytujemy rozwiązanie nierówności f x    0 .   

x

0

1

Zatem f x    0 , gdy x ∈ R .

c.n.u.

Ćwiczenie 12. Uzasadnij, że jeżeli     4 10 7 0 2 x x , to x ∈ R .

17

Nierówności kwadratowe – ciąg dalszy

Rozwiązując nierówności kwadratowe, możemy korzystać z własności wartości bezwzględ - nej. Pokażemy to na przykładach. Przypomnijmy

x x 2 = wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ R .

• •

x a =

x a =

• • Jeśli a > 0 i: x a < , to    a x a ,

x a  

   a x a

x a >

– a

a

x a > , to x a   lub x a > , x a 2 = , to x a = .

0

x a >

x a <

x a >

Przykład 6. Rozwiąż nierówność x 2

4 > .

Rozwiązanie I sposób x 2

4 > x 2 4 0   x x        2 2 0

a b a b a b 2 2        

Szkicujemy linię znaku funkcji f x x     2 4 i odczytujemy odpowiedź.

x

–2

0

1

2

x          ; ; 2 2 .

Obie strony nierówności są nieujemne – pierwiastkujemy każdą ze stron. x x 2 =

II sposób x 2

4 >

x 2 4 > x > 2 . Zatem x   2 lub x > 2 .

Ćwiczenie 13. Rozwiąż nierówność: a) x 2

9 ≥ , b) x 2

3 < .

Przykład 7. Rozwiąż nierówność       3 2 12 0 2 x . Rozwiązanie       3 2 12 0 2 x          3 2 12 3 2 x / : x     2 4 2 x   2 2     2 2 2 x , skąd    4 0 x . Odp.: x     4; 0 .

a 2 4 < wtedy i tylko wtedy, gdy a < 2 , gdzie a x   2 a < 2 wtedy i tylko wtedy, gdy    2 2 a

18

1. Nierówności kwadratowe

Ćwiczenie 14. Rozwiąż nierówność: a) x     1 9 2 , b) 2 4 2     x . Ćwiczenie 15. Podaj rozwiązanie nierówności: a)      3 2 0 2 x , b) 1 3 0 2      x .

Umiejętność rozwiązywania nierówności kwadratowych pozwala wyznaczać dziedziny niektórych funkcji. Pokażemy to na przykładach.

Przykład 8. Wyznacz dziedzinę D f funkcji określonej wzorem: a) f x x     2 1 , b) f x x x      1 2 2 . R ozwiązanie a) Wyrażenie x 2 1 − ma sens liczbowy, gdy x 2 1 0   , czyli dziedziną D

f funkcji f

j est zbiór liczb spełniających nierówność: x 2 1 0   x ≥ 1 x   1 lub x ≥ 1 . b) Wyrażenie 1 2 2 x x − −

x 2

1 ≥

ma sens liczbowy, gdy x x 2 2 0    .

x x 2 2 0     9 ,   3 x 1 1   , x 2 2 =

x

–1

0

1 2

x   1 lub x > 2 . Odp.: a) D f        ; ; 1 1 , b) D f          ; ; 1 2 .

Ćwiczenie 16. Wyznacz dziedzinę funkcji f określonej wzorem: a) f x x     4 2 , b) f x x x       2 2 1 1 , c) f x x x      2 3 2 2 , d) f x x x      1 4 5 2 .

19

Nierówności kwadratowe – ciąg dalszy

Odpowiedzi do ćwiczeń 11. a) x   2;1 , b) x   

 12; 3 .

x x       4 10 7 2

12. Wskazówka. Wystarczy wykazać, że funkcja f x

13. a) x         ; ; 3 3 , b) x   

 3; 3 .

przyjmuje wartości ujemne dla każdej liczby rzeczywistej. 14. a) x          ; ) ; 2 4 , b) x       2 4; 2 4 .

15. a) x ∈ R , b) x ∈ R . 16. a) D f   2; 2 , b) D f        ; ; 1 1 , c) D f     3; 1 , d) D f = R .

Zadania utrwalające

1.13. Rozwiąż nierówność: a) x x 2 3 4 0    ,

b) 3

c) x x 2 3 28 0    ,

2 0 2 x x    ,

f)    2 1 2 2 x x

1

d)    x x 2 8 15 ,

e) x

x 4 8 1 0    , ,

,

2

4

g) 12 11 2 0 2 x x    ,

h)     2 2 0 2 x x ,

i)

3 2 3 0 2 x x    .

1.14. R ozwiąż nierówność: a) x x x         3 4 5 0 ,

b) x x x x               1 1 2 4 2 , x

c) 2 1 2 x x x              , 2 4 x

x        5 2 10 2 2 .

d) x

1.15. P odaj rozwiązanie nierówności: a) x     2 0 2 ,

b) x    

c)     

2 0 2 ,

5 1 0 2 x ,

d) x     3 0 2 ,

e) x x 2

f)     x x 2 10 25 0 .

6 9 0    ,

1.16. Rozwiąż nierówność: a) x     3 1 2 ,

2 3 9 2 x     , 2      x , 4 2 1

2 2     x ,

b) e)

c) f)

1

d) 3 4 1 8 2 x      ,

16 8 5 0 2      x .

1.17. Podaj wszystkie liczby naturalne, które spełniają nierówność x x 2 6 5 0    . 1.18. Podaj najmniejszą liczbę naturalną spełniającą nierówność 12 6 0 2 x x   . 1.19. Podaj wszystkie liczby całkowite spełniające nierówność    2 8 0 2 x . 1.20. Dla jakiej wartości x pole prostokąta jest większe od pola trójkąta o wymiarach podanych na rysunku? 1.21. Zbiorem rozwiązań nierówności 5 2 3 0 x x k        z niewiadomą x jest przedział 2 5 , 5     . Oblicz k .  

20

1. Nierówności kwadratowe

1.22. Wyznacz dziedzinę D f funkcji f określonej wzorem: a) f x x x          1 2 , b) f x x x       4 ,

c) f x x     2 4 ,

x        5 5 5 . x

1

d) f x x x      2 4 4 ,

  

  

e) f x

f) f x

,

x x 2

 

6 9

Układy nierówności liniowych i kwadratowych z jedną niewiadomą

Przypomnijmy • • Jednoczesne zachodzenie dwóch nierówności a b < i b c < można zapisać w postaci: ■ ■ a b c < < ( podwójna nierówność ) lub ( układ nierówności ). • • Aby rozwiązać układ nierówności, należy rozwiązać każdą z nich, a następnie podać zbiór liczb, które jednocześnie spełniają te nierówności. a b b c     

1 3 11 x         x x

Ćwiczenie 17. Rozwiąż układ nierówności: a) x x     2 0 2 3 5

  

  

6 2 5 8

, b)

.

x

  

x x x 2  

  

2 0

Przykład 9. Rozwiąż układ nierówności

.

1 0

Rozwiązanie Rozwiązujemy oddzielnie każdą z nierówności układu.

x x 2 2 0    x x 2 2 0    x 1 2   , x 2

x   1 0

x   1 , czyli x      1; .

1 =

x

x

0 –1 1

x   2;1 . 0 –2

1

Wyznaczamy część wspólną zbiorów rozwiązań. x x         2 1 1 ; ; , więc x    1;1 .

x x

–1 –1 0 0

–2

1

  

–2

1

Odp.: x    1;1 .

21

Układy nierówności liniowych i kwadratowych z jedną niewiadomą

Ćwiczenie 18. Rozwiąż układ nierówności: a) x x x 2 3 4 0 1 1      , b)       2 5 3 0 1 0 2 x x x

R

  

  

.

1

x      9 2

Przykład 10. Wyznaczdziedzinęfunkcji f określonejwzorem f x

.

x x  2 2

R ozwiązanie Funkcja f jest określona dla takich argumentów x , dla których wyrażenia 9 2 − x

   

9 x x x 2   2

0

1

mają sens liczbowy, czyli gdy 9

i

0 2   x i x x 2 2 0   , więc

.

2 2 x x −

 

2 0

R ozwiązujemy każdą z nierówności układu.

2   x

x x 2 2 0   x x 2 2 0   , skąd x 3

9

0

3   i x 2

3 = .

0 2   x , skąd x 1

0 = i x

2 = .

9

4

x

x          ; ; 0 2 . 0 x 1 2

–3

0

1 3

x   3; 3 .

Wyznaczamy część wspólną zbiorów rozwiązań nierówności układu.

x x

           3 3 0 2 ; ; ;

   

x

–3

0

1 3

, więc

x

0

1 2

x      3 0 2 3 ; ; . Odp.: D f      3 0 2 3 ; ; .

x

–3

0

1 2 3

1

      7 10

Ćwiczenie 19. Wyznacz dziedzinę funkcji f x x x 2

.

x x 

2

6

Odpowiedzi do ćwiczeń 17. a) x     2; 4 , b) x 

19. D f  

 4; 5 .

18. a) x ∈ 0; 4 , b) x     3; 1 .

  0 2 5 6 ; ; .

R

22

1. Nierówności kwadratowe

Zadania utrwalające

1.23. Rozwiąż układ nierówności: a) 2 10 10 4 9 0 2      , b) 1.24. R ozwiąż układ nierówności: a) x x x 2 2 4 3 5 0     x x        , b)

3 1 0 9 12 4 0 2 x x x     

  

  

2     x x

c) 1

0

,

.

2 1 0

   

   

4    2 x

5 12 2 x          2 x x x

16

0

c)

,

.

x

2

2 3 0

1.25. R ozwiąż podwójną nierówność: a) x x x x      8 3 15 2 ,

2 2 2     x x x x ,

b) 2 d) 2

c) x

x 2 11 5 3 7 9      , x

3 2   x ,

f) x x 2 2   .

e)     2 3 2 2 x x ,

1.26. W yznacz dziedzinę funkcji f określonej wzorem: a) f x x x       2 5 , b) f x

1 ,

x      

x     3 2 1

x

x



2

4

1

  

      4 4

d) f x x x 2

c) f x

,

.

x x 

x



2

2

1

2

Przykłady zadań prowadzących do rozwiązywania nierówności kwadratowych i ich układów Wiele wyników doświadczeń i obserwacji zjawisk można opisać wzorem funkcji kwadra - towej, równaniem kwadratowym, nierównością kwadratową lub ich układami. Pokażemy to na przykładach.

Przykład 11. Długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego różnią się o 2. Jaką długość ma krótsza przyprostokątna, jeżeli pole tego trójkąta jest mniejsze od 60?

Rozwiązanie Oznaczenia:

x – krótsza przyprostokątna, gdzie x > 0 , x + 2 – dłuższa przyprostokątna.

x

2 x + Pole P trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu długości jego przyprostokątnych.

P x x      1 2

2 , gdzie x > 0 i P > 0 .

23

Przykłady zadań prowadzących do rozwiązywania nierówności kwadratowych i ich układów

1 x     2

    

x x

2 60



0

x x 2 2 120 0     484 ,   22 x 1 12   , x 2 10 =

     

x x x 2 0

   

2 120 0

    0 x x

12 10

.

x

–12

0

10

Odp.: x  

 0;10 .

Ćwiczenie 20. Długości boków prostokąta różnią się o 6. Czy jest możliwe, by pole tego prostokąta było mniejsze od 27? Odpowiedź uzasadnij.

Przykład 12. Całkowity koszt (w złotych) wytworzenia x sztuk pewnego produktu określony jest wzorem k x x x       2 700 300 2 , gdzie x < 22 . Oblicz, ile sztuk towaru można wyprodukować, by koszt k ich produkcji nie przekroczył kwoty 8000 zł. Rozwiązanie k x 8000 2 700 300 8000

     22 N

Koszt nie przekracza 8000 zł. x – liczba wyprodukowanych sztuk towaru

     

    

       22 2 x x x x N



, więc

x x

x  N  i x < 22 ,  1 2 3 21 , , , ...,

              2 700 7700 0 2 1 2 3 21 2 x x x / : , , , ..., x x x 2 350 3850 0 1 2 3 21           , , , ...,

więc x  

 107100 ,  327,3

  x 1

11, 4 ,   x 2

338,6

  x 11, 4 lub x ≥ 338,6 x    1 2 3 21 , , , ..., .

  

x

338,6

11,4

Odp.: x  

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 , , , , , , , , , , .

Ćwiczenie 21. Pewien zakład sprzedaje swoje wyroby w cenie 150 zł za sztukę. Zysk Z , jaki uzyskuje ten zakład po sprzedaży n sztuk wyrobów dziennie, określony jest wzorem Z n n n       2 100 1600 . Ile sztuk wyrobów dziennie powinien sprzedać zakład, by osiągnąć zysk, a nie stratę?

24

1. Nierówności kwadratowe

Przykład 13. Obwód trapezu równoramiennego jest równy 24. Jedna podstawa tego trapezu jest dwa razy dłuższa od drugiej. Jaką długość może mieć krótsza podstawa trapezu, jeżeli kwadrat odległości między podstawami jest mniejszy od 14? Rozwiązanie Oznaczenia: x – krótsza podstawa trapezu, x > 0 , y – ramię trapezu, y > 0 , h – odległość między podstawami trapezu, h > 0 . 1° Obwód trapezu jest równy 24. x x y    2 2 24 , gdzie x > 0 i y > 0 , y x   12 3 2 , gdzie x > 0 i y > 0 . x x h y y 2 x 2 x 2 x y > 0 , więc 12 3 2 0   x , gdy x < 8 , x > 0 i x < 8 , więc x    0; 8

y     x

3

x

     12 0; 8

.

Zatem

2

2° Kwadrat odległości między podstawami jest mniejszy od 14. h 2 14 < i h y x 2 2 2 2         , więc y x 2 2 2 14         .

x

2    

2    

12    

  

3

x

14

Z 1° i 2° :

2

2

        

9 2     x x x 2 36 130 0 2 x x    / : 2 x x 2 18 65 0       324 260 64 ,  8 x 1 5 = , x 2 13 = 4 4 14 2

2    

y x 2     2

144 36

14

       

x

2    

2    

12    

  

3

x

14

3

, skąd

,

y

x

12      0 8 ;

2

2

2

0 8    ;

x

x

 



x x

5 13 ;

.

   0 8 ;

x

5

13

Odp.: x    5; 8 .

Ćwiczenie 22. Podstawa trójkąta równoramiennego jest o 2 cm krótsza od wysokości tego trójkąta poprowadzonej na tę podstawę. Oblicz, jaką długość może mieć podstawa trójkąta, aby jego pole było mniejsze niż 17,5 cm 2 .

Odpowiedzi do ćwiczeń 20. Tak, jeśli długość krótszego boku jest liczbą z przedziału 0; 3   , a dłuższy bok liczbą z przedziału 6; 9   . 21. n    20 21 22 80 , , , ..., . 22. Długość podstawy powinna być liczbą z przedziału 0; 5   .

25

Równania kwadratowe z parametrem

Zadania utrwalające 1.27. Siatką długości 90 m należy z terenów zielonych wydzielić prostokątny wybieg dla psów. Jakie wymiary może mieć ten wybieg, aby jego pole nie przekroczyło 500 m 2 , a krótszy bok miał długość co najmniej 12 m? Na budowę bramki również wykorzy- stano siatkę. 1.28. Mamy 48 m siatki i chcemy ogrodzić przyległą do muru prostokątną działkę. Jaką długość powinna mieć część ogrodzenia równoległa do muru, jeżeli chcemy, by pole tej działki było co najwyżej równe 126 m 2 ? 1.29. Dekorator wnętrz zaproponował, by dywan w salonie przykrywał co najmniej połowę, ale nie więcej niż 3 4 po-

wierzchni prostokątnej podłogi o wymiarach 4,5 m 6 m × . Brzegi dywanu powinny być jednakowo odległe od ścian salonu. Oblicz, jakie powinny być wymiary tego dywanu.

1.30. Wokół basenu o wymiarach 8 m 4 m × wyłożono kostką brukową pas o szerokości x m. Jaka powinna być szerokość x tego pasa, aby cały obszar basenu i pasa nie przekroczył 77 m 2 , a szerokość tego pasa nie była mniejsza niż 0,6 m? 1.31. Oblicz, ile co najmniej boków ma wielokąt, w którym liczba przekątnych jest: a) dwa razy większa niż liczba boków, b) pięć razy większa niż liczba boków. 1.32. Uzasadnij, że nie można liczby 22 przedstawić w postaci sumy dwóch takich liczb dodatnich, że ich suma kwadratów jest większa od 580. D

R

Przypomnijmy Równanie ax bx c 2 0    z niewiadomą x jest równaniem: • kwadratowym, gdy a   0 , liniowym, gdy a = 0 . Równania kwadratowe z parametrem

Ćwiczenie 23. Określ, dla jakich wartości parametru m równanie: a) m x m x 2 2 1 1 1 0          , b) m x m x m 2 2 1 1 1 0           jest: liniowe, kwadratowe.

R

Przykład 14. Wzależności od wartości parametru m o kreśl liczbę pierwiastków równania m x mx m        5 4 2 0 2 . Rozwiązanie Równanie m x mx m        5 4 2 0 2 ma postać ax bx c 2 0    , gdzie a m   5 , b m   4 i c m   2 . Rozpatrujemy dwa przypadki: a = 0 , a   0 . Jeśli a = 0 , to m = 5 . Równanie jest równaniem liniowym    20 3 0 x , które ma jedno rozwiązanie. Jeśli a   0 , to m   5 . Równanie jest równaniem kwadratowym o wyróżniku       4 3 7 10 2 m m . Pokażemy na przykładach sposób określania liczby pierwiastków równania kwadratowego lub ich wyznaczania w zależności od wartości parametrów. 26 1. Nierówności kwadratowe

R

Liczba pierwiastków równania kwadratowego zależy od znaku (wartości) wyróżni- ka D , więc badamy znak tego wyróżnika, traktując go jako funkcję kwadratową zmiennej m .  m m m        4 3 7 10 2 ,  m    0 , gdy 3 7 10 0 2 m m    . R ównanie kwadratowe ma: 0 1 10 3 – m 1 10 3   , m 2 1 =

m

m m

    5

   

a   0 0 

10 3

  

  

; 1 ,

, czyli

• • 0 pierwiastków, gdy

, skąd m     

  

10

 

;1

3

m m

   5

   

a  0 0  

10 3

  

  

, 1 ,

, czyli

, skąd m     

• • 1 pierwiastek, gdy

10

m



lub

1

3

m m

     5 ;

   

a   0 0 

  

,

, więc

• • 2 pierwiastki, gdy

        1 ;

10

 

3

          1 10 3 1 5 5 ; ; ; .

skąd m      

  

10

Odp.: Liczba pierwiastków równania: 0 , gdy m     

;1 ,

3

1 , gdy m   



           ; ; 1 5 5

10

10

2 , gdy m       ;

, 1, 5 ,

.

R

3

3

27

Równania kwadratowe z parametrem

Ćwiczenie 24. Określ liczbę pierwiastków równania m x m x m           1 1 1 0 2 w zależności od wartości parametru m . Przykład 15. Rozwiąż równanie k x x k        1 4 2 0 2 z niewiadomą x . Rozwiązanie ⊗ k x x k        1 4 2 0 2 . Równanie ⊗ ma postać ax bx c 2 0    , gdzie a k   1 , b   4 i c k   2 . Rozpatrujemy dwa przypadki: a = 0 , a   0 . a = 0 , gdy k = 1 , więc równanie ⊗ ma postać    4 3 0 x , skąd x = 3 4 . a   0 , gdy k   1 . Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego k x x k        1 4 2 0 2 .             4 4 1 2 2 k k , więc        4 6 2 k k .   0 , gdy       4 6 0 2 k k k 1 3   , k 2 2 = . Jeśli: k   3 , to x 0 4 2 3 1 1 2        , k = 2 , to x 0 4 2 2 1 2      .   0 , gdy       4 6 0 2 k k k k 2 6 0       3 2 k . Z atem, gdy k   1 i k     3, 2 , równanie jest kwadratowe i ma dwa pierwiastki: 2

R

k k          , k 4 4 6 2 1 k k 2          . k 4 4 6 2 1

x



1

x



2

Odp.: Równanie ma: jeden pierwiastek x 0

3

1

4 = , gdy k = 1 lub x 0

2   , gdy k   3 , lub x 0

2 = , gdy k = 2 ;

k k

k k

k     1

k     1

2

2

2 6

2 6

, gdy k        3 1 1 2 , , .

dwa pierwiastki x

i x





1

2

Ćwiczenie 25. Rozwiąż równanie z niewiadomą x : a) x mx m 2 2 4 0     , b) m x x m        2 2 2 0 2 . Pokażemy na przykładach sposób określania znaków pierwiastków równania kwadratowego za pomocą wzorów Viѐte’a w zależności od wartości parametrów.

R

28

1. Nierówności kwadratowe

Przypomnijmy

R

Jeśli liczby x 1 i x 2 są pierwiastkami równania kwadratowego ax bx c 2 0    , to x x b a 1 2    i x x c a 1 2   . P owyższe związki nazywamy wzorami Viѐte’a.

Równanie kwadratowe ax bx c 2 0    , gdzie a

  0 i   0 , ma dwa pierwiastki x 1 i x 2

różnych znaków, gdy: jednakowych znaków, gdy: dodatnie, gdy:

ujemne, gdy:

0

0

x x x x 1 2 1 

x x x x 1 2 1 

  

  

  

  

x x 1 2 0  

x x 1 2 0  

0

0

2

2

Przykład 16. Oblicz wartości parametru k , dla których równanie x kx k 2 3 0     ma co najmniej jeden pierwiastek ujemny. Rozwiązanie Lewa strona równania jest trójmianem kwadratowym określonym wzorem f x ax bx c      2 , gdzie a = 1 , b k   , c k   3 . Równanie x kx k 2 3 0     ma co najmniej jeden pierwiastek ujemny wtedy, gdy ma ono: • jeden pierwia- stek x 0 i jest on liczbą ujemną • dwa pierwiastki x 1 i x 2 różnych znaków • dwa pierwiastki x 1 , x 2 i są one liczbami niedodatnimi Ćwiczenie 26. Równanie ma postać ax bx c 2 0    . Podaj układ warunków, jakie speł- niają współczynniki a , b i c oraz wyróżnik D równania, gdy to równanie ma: a) dwa pierwiastki ujemne, b) dwa pierwiastki dodatnie, c) dwa pierwiastki jednakowych znaków, d) dwa pierwiastki różnych znaków, e) co najmniej jeden pierwiastek.

y f x

= ( )

y f x = ( )

y f x =

y f x = ( )

( )

x 1

x 2

x 2

x 1

x 1

x 2

x 0

 

    

0

  0 0 0 x 

 

  

  

0

1 2 x x x x

   

0

R

1 2 x x

 

0

0

1 2

29

Równania kwadratowe z parametrem

x kx k 2 3 0     , więc     k k 2 4 12 , x x k 1 2

3    , x x k 1 2   .

R

Z atem

    

k k k k 2 0   

  

   

k k k 2

0    

4 12 0

4 12 0

  

k k k 2  

  

4 12 0

lub

, więc

,

lub

3 0

3 0

2

k k k              ; ; 2 6 3 0

    

k k             ; ; 2 6 3

k k

k

 



  

  

2

lub

6

, lub

lub



0

k   2

lub k   3 ,

lub     3 2 k .

Odp.: k     ; 2 .

Ćwiczenie 27. Oblicz wartości parametru k , dla których równanie

1 3 0 2 x k x       ma co najmniej jeden pierwiastek dodatni.

3

Przykład 17. Dla jakich wartości parametru m równanie x mx 2 4 0    ma dwa pier - wiastki x 1 i x 2 spełniające warunek x x 1 2 2 2 17   ? Rozwiązanie Warunki zadania są spełnione, gdy     0 17 2 , czyli    m 2 16 , x x x x x x 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2       ,

  

1 2 2 x x

gdzie x x m 1 2    i x x 1 2

4  

   

m         m 2 2 16 0

, skąd

2 4 17

m   4 lub m > 4 m   5 lub m = 5 .

  

Odp.: m   5 lub m = 5 .

Ćwiczenie 28. Oblicz, dla jakich wartości parametru m równanie       x mx m m 2 2 2 1 0 ma różne pierwiastki x 1 i x 2 spełniające warunek x x x x 1 2 1 2 1     .

R

30

1. Nierówności kwadratowe

R

Odpowiedzi do ćwiczeń 23. a) m   1 ,

m   1 i m   1 , b)

nie istnieje takie m ,

m ∈ R .

, 1 pierwiastek, gdy m     1 1 5 3 , , ,

  

5

24. Równanie ma: 0 pierwiastków, gdy m   

         ; ; 1 3

  

5

2 pierwiastki, gdy m         1 1 1 ;

25. a) x 0

.

2   , gdy m = 4; x 1

2   , x

m 2 2   , gdy m   4 ,

;

3

b) x 0

1   , gdy m   3; x 0 1 = , gdy m   1; x 0 0 = , gdy m   2;

m m m 2 2     

m m m 2 2     

1

4 3

1

4 3

, gdy m   

     3 2 2 1  ; ;  .

, x

x





1

2

0

0

a

a





        

        

      

      

0 0

0 0



 



 

0

0

a

a





0 0

a   0 0 

a b

 

  

  

c a

c a

26. a)

, b)

, c)

, d)

, e)

0 0

0 0

lub

, lub a b c = = = 0 .



 



 

c a

c a

b a

b a

0

0

 

 

27. k ≥ 7.

28. m = 1 .

Zadania utrwalające 1.33. Rozwiąż równanie z niewiadomą x : a) x mx m 2 2 4 0     ,

b) m x m x          3 2 1 0 2 , d)        mx m x 2 2 1 0 ,

c) x mx 2 4 0    ,

e) m x x 2 2 1 2 0       ,

f) m x    1 2 2 . 1.34. W zależności od wartości parametru m określ liczbę pierwiastków równania: a) x mx 2 8 0    , b) x m x 2 5 4 0       , c) m x x       1 2 3 0 2 , d) m x m x 2 2 1 2 1 2 0          , e) m m x m x 2 2 5 6 1 2 0           , f) 2 1 5 6 0 2 2 m m x m x           . 1.35. Oblicz wartości parametru m , dla których ma dwa pierwiastki różnych znaków równanie: a) 2 6 0 2 x mx m     , b) x m x m 2 5 2 7 0        . 1.36. Dla jakich wartości parametru m równanie x m x m m 2 2 5 2 1 2 0         m a dwa pierwiastki dodatnie? 1.37. Oblicz wartości parametru m , dla których ma dwa pierwiastki jednakowych znaków równanie: a) x mx m 2 3 5 0     , b) x m x m 2 2 2 4 0       . m x       4 1 4 0

R

Page 1 Page 2 Page 3 Page 4 Page 5 Page 6 Page 7 Page 8 Page 9 Page 10 Page 11 Page 12 Page 13 Page 14 Page 15 Page 16 Page 17 Page 18 Page 19 Page 20 Page 21 Page 22 Page 23 Page 24 Page 25 Page 26 Page 27 Page 28 Page 29 Page 30 Page 31 Page 32 Page 33 Page 34 Page 35 Page 36 Page 37 Page 38 Page 39 Page 40 Page 41 Page 42 Page 43 Page 44 Page 45 Page 46 Page 47 Page 48 Page 49 Page 50 Page 51 Page 52 Page 53 Page 54 Page 55 Page 56 Page 57 Page 58 Page 59 Page 60 Page 61 Page 62 Page 63 Page 64 Page 65 Page 66 Page 67 Page 68 Page 69 Page 70 Page 71 Page 72 Page 73 Page 74 Page 75 Page 76 Page 77 Page 78 Page 79 Page 80 Page 81 Page 82 Page 83 Page 84 Page 85 Page 86 Page 87 Page 88 Page 89 Page 90 Page 91 Page 92 Page 93 Page 94 Page 95 Page 96 Page 97 Page 98 Page 99 Page 100 Page 101 Page 102 Page 103 Page 104 Page 105 Page 106 Page 107 Page 108 Page 109 Page 110 Page 111 Page 112 Page 113 Page 114 Page 115 Page 116 Page 117 Page 118 Page 119 Page 120 Page 121 Page 122 Page 123 Page 124 Page 125 Page 126 Page 127 Page 128 Page 129 Page 130 Page 131 Page 132 Page 133 Page 134 Page 135 Page 136 Page 137 Page 138 Page 139 Page 140 Page 141 Page 142 Page 143 Page 144 Page 145 Page 146 Page 147 Page 148 Page 149 Page 150 Page 151 Page 152 Page 153 Page 154 Page 155 Page 156 Page 157 Page 158 Page 159 Page 160 Page 161 Page 162 Page 163 Page 164 Page 165 Page 166 Page 167 Page 168 Page 169 Page 170 Page 171 Page 172 Page 173 Page 174 Page 175 Page 176 Page 177 Page 178 Page 179 Page 180 Page 181 Page 182 Page 183 Page 184 Page 185 Page 186 Page 187 Page 188 Page 189 Page 190 Page 191 Page 192 Page 193 Page 194 Page 195 Page 196 Page 197 Page 198 Page 199 Page 200

Made with FlippingBook - Online catalogs