Podręcznik 1 - LO i T - rozszerzony + podstawowy

M A T E M A T Y K A

Alicja Cewe Małgorzata Krawczyk Maria Kruk, Alina Magryś-Walczak Halina Nahorska

MA T E MA T Y K A i przykłady jej zastosowań zakres podstawowy i rozszerzony

1

Podręcznik

licea ogólnokształcące technika

Podręcznik dla absolwentów ośmioletniej szkoły podstawowej

Oznaczenia graficzne

W niebieskiej ramce umieszczono treści odpowiadające definicjom lub twierdzeniom.

W pomarańczowej ramce umieszczono te treści, które powinny być znane z wcześniejszych lat nauki. Przypomnijmy

Na szarym tle umieszczono uwagi, które są podsumowaniem ważnych treści; warto je zapamiętać.

Na fioletowym tle umieszczono ćwiczenia przewidziane jako zadania domowe, ponieważ ich rozwiązanie wymaga większej ilości czasu niż inne.

Na żółtym tle umieszczono zadania otwarte i zamknięte różnego rodzaju pod hasłem Zestaw powtórkowy .

R

Niebieski pasek na marginesie książki oznacza treści przeznaczone tylko dla zakresu rozszerzonego.

Na niebieskim tle umieszczono numery zadań o podwyższonym stopniu trudności. Symbol zeszytu na marginesie oznacza, że przykłady z ćwiczenia lub zadania należy przepisać do zeszytu i rozwiązać je; odpowiedzi do tych zadań i ćwiczeń nie należy wpisywać w podręczniku .

6.32.

Literka D przy numerze zadania oznacza zadanie na dowodzenie.

2.48. D

Skróty : c.n.u. – co należało uzasadnić (udowodnić), c.n.w. – co należało wykazać, c.k.d. – co kończy dowód.

Alicja Cewe Małgorzata Krawczyk Maria Kruk Alina Magryś-Walczak Halina Nahorska

MA T E MA T Y K A i przykłady jej zastosowań zakres podstawowy i rozszerzony

1

Podręcznik

Gdańsk

Autorki: Alicja Cewe, Małgorzata Krawczyk, Maria Kruk, Alina Magryś-Walczak, Halina Nahorska Opracowanie edytorskie i redakcyjne: Alicja Cewe, Halina Nahorska, Alina Magryś-Walczak Konsultacja polonistyczna: Beata Różańska Projekt okładki: Alicja Cewe Skład i ilustracje: Jarosław Mach Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwego do spraw oświaty iwychowania i wpisany do wykazu podręczników szkolnych przeznaczonych do kształcenia ogólnego do nauczania matematyki, na podstawie opinii rzeczoznawców: dr Marii Borowskiej, dr. hab. Edwarda Tutaja, dr hab. Iwony Benenowskiej. Zakres kształcenia: podstawowy i rozszerzony. Etap edukacyjny: III. Typ szkoły: szkoły ponadpodstawowe. Rok dopuszczenia: 2019. Numer ewidencyjny w wykazie: 1068/1/2019. Podręcznik zgodny z podstawą programową kształcenia ogólnego w liceach ogólnokształcących i technikach – zakres podstawowy i rozszerzony, określoną w rozporządzeniu Ministra Edukacji Narodowej z dnia 30 stycznia 2018 roku (Dz.U. z 2018 r., poz. 467.)

ISBN 978-83-65120-81-6 © Copyright by Wydawnictwo Podkowa Gdańsk, ul. Paganiniego 17/17

Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-460 Gdańsk 6 dział zamówień i reklamacji pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl tel. 602 211 526 tel./fax 585 208 745

Spis treści

Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1. Język i symbole logiki w matematyce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Rodzaje zdań złożonych . . . . . . . . . . . . . . . 8 Twierdzenie i jego dowód. . . . . . . . . . . . . 14 2. Zbiory i działania na nich . . . . . . . . . 17 Zbiory i działania na nich . . . . . . . . . . . . . 17 Część wspólna zbiorów (iloczyn zbiorów) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Suma zbiorów (złączenie zbiorów). . . . . 20 Różnica zbiorów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Liczby naturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Algorytm Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Liczby całkowite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Liczby wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Liczby niewymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Liczby rzeczywiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Przedziały liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Działania na przedziałach liczbowych . . 55 Zestaw powtórkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4. Potęgowanie, pierwiastkowanie i logarytmowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Potęga o wykładniku całkowitym . . . . . . 60 Pierwiastki kwadratowe i pierwiastki sześcienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Pierwiastki stopnia n i działania na nich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Potęga o wykładniku wymiernym. . . . . . 75 Pojęcie logarytmu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Logarytm iloczynu, ilorazu oraz logarytm potęgi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Przykłady zastosowań potęg i logarytmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Zamiana podstawy logarytmu . . . . . . . . . 93 Zestaw powtórkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5. Wzory skróconego mnożenia . . . . . . 98 Kwadrat sumy i kwadrat różnicy dwóch wyrażeń. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Różnica kwadratów dwóch wyrażeń . . 102 Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Zestaw powtórkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6. Równania i nierówności liniowe z jedną niewiadomą . . . . . . . . . . . . . . 113 Równanie liniowe z jedną niewiadomą 115 Nierówność liniowa z jedną niewiadomą . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Własności wartości bezwzględnej. . . . . 131 Równania z wartością bezwzględną . . . 136 Nierówności z wartością bezwzględną. 143 Zestaw powtórkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7. Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi . . . . . . . . . 150 Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Rozwiązywanie układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi . . . 152 Przykłady zadań prowadzących do rozwiązywania układów równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Przykłady zadań prowadzących do rozwiązywania nierówności

Spis treści

4

Równania, nierówności i układy równań liniowych z parametrem . . . . . . 163 Zestaw powtórkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8. Funkcja i jej własności . . . . . . . . . . . 171 Pojęcie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Sposoby określania funkcji. . . . . . . . . . . 175 Dziedzina i zbiór wartości funkcji. . . . . 180 Funkcje różnowartościowe. . . . . . . . . . . 186 Miejsce zerowe i znak funkcji w przedziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Monotoniczność funkcji . . . . . . . . . . . . . 193 Wartość najmniejsza i największa funkcji w przedziale domkniętym . . . . . 197 Zestaw powtórkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9. Figury podobne i twierdzenie Talesa . . . . . . . . . . . . . . 201 Proporcja i przekształcanie wzorów . . . 201 Wielokąty podobne i ich własności. . . . 204 Cechy podobieństwa trójkątów . . . . . . . 210 Podobieństwo trójkątów w zadaniach . 216 Twierdzenie Talesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Zestaw powtórkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 10. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Sinus i cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym . . . . . . . . . . . . 232 Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60° . . . . . . . . . . . . . 237 Odczytywanie wartości funkcji trygonometrycznych z tablic . . . . . . . . . 241 Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Związki między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego . . . . . 247 Zestaw powtórkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 11. Funkcja liniowa i jej własności . . . 254 Wzór i wykres funkcji liniowej . . . . . . . 254 Interpretacja współczynników liczbowych we wzorze funkcji liniowej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Miejsce zerowe i znak funkcji liniowej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej . . 269 Przykłady funkcji liniowych określonych w różnych przedziałach różnymi wzorami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Funkcja liniowa w zastosowaniach. . . . 280 Zestaw powtórkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 12. Funkcja f x a x ( ) = i wielkości odwrotnie proporcjonalne . . . . . . . . 287 Wykres i własności funkcji określonej wzorem f x a x ( ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Wielkości odwrotnie proporcjonalne . . 292 Zestaw powtórkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 13. Równania kwadratowe . . . . . . . . . . . 300 Równania kwadratowe niezupełne . . . . 301 Równanie kwadratowe zupełne a wzory skróconego mnożenia . . . . . . . . . . . . . . . 304 Wyróżnik równania kwadratowego i liczba jego pierwiastków . . . . . . . . . . . 307 Przykłady zadań prowadzących do rozwiązywania równańkwadratowych. 311 Suma i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Równania kwadratowe z parametrem. . 319 Zestaw powtórkowy . . . . . . . . . . . . . . . . 322

Spis treści

5

14. Funkcja kwadratowa . . . . . . . . . . . . 324 Wykres i własności funkcji kwadratowej f x ax ( ) = 2 . . . . . . . . . . . 324 Postać kanoniczna funkcji kwadratowej . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Postać kanoniczna a postać ogólna funkcji kwadratowej . . . . . . . . . . . . . . . . 337 Miejsca zerowe funkcji kwadratowej i jej postać iloczynowa . . . . . . . . . . . . . . 341 Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 informacji o niej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 Funkcja kwadratowa w zastosowaniach 357 Zestaw powtórkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Wskazówki i odpowiedzi . . . . . . . . . 366 1 . Język i symbole logiki matematycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 2 . Zbiory i działania na nich. . . . . . . . 366 3 . Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 4 . Potęgowanie, pierwiastkowanie i logarytmowanie. . . . . . . . . . . . . . . 369 5 . Wyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożenia . . . . . . . . . . . 372 6 . Równania i nierówności liniowe z jedną niewiadomą. . . . . . . . . . . . . 374 7 . Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi . . . . . . . . 377 8 . Funkcja i jej własności . . . . . . . . . . 380 9 . Figury podobne i twierdzenie Talesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 10 . Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 383 Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie

11 . Funkcja liniowa i jej własności. . . 385 12 . Funkcja f x a x ( ) = i wielkości odwrotnie proporcjonalne . . . . . . . 390 13 . Równania kwadratowe . . . . . . . . . . 391 14 . Funkcja kwadratowa . . . . . . . . . . . . 395

Wstęp Umieć matematykę, to między innymi wiedzieć, jak w codziennym życiu ko- rzystać z jej dobrodziejstw. Książka „ Podręcznik 1 – zakres podstawowy i rozszerzony ” z serii Matema- tyka i przykłady jej zastosowań jest podręcznikiem dla liceum ogólnokształcą- cego i technikum. Naszym zdaniem w podręczniku jest wystarczająca liczba zadań i ćwiczeń, by nabyć umiejętności wymienione w podstawie programowej z dnia 30 stycznia 2018 roku (Dz.U. z 2017r., poz. 59, 949 i 2203). W końcowej części każdego realizowanego tematu lekcji zamieszczono zadania pozwalające na utrwalenie przerobionego materiału (zadania utrwalające). Odpowiedzi do zadań utrwalających znajdują się na ostatnich stronach książki. Odpowiedzi do ćwiczeń są umieszczone w fioletowej ramce przed każdym zestawem zadań utrwalających. Każdy rozdział kończy się zestawem powtórkowym, w którym są zadania zamknięte różnego rodzaju oraz zadania otwarte. Przy rozwiązywaniu problemów można korzystać z dostępnych narzędzi i tech- nologii informatycznych, czyli encyklopedii, tablic matematycznych, kalkulato- rów i komputerów.

Życzymy powodzenia, Autorki

1. Język i symbole logiki w matematyce

Logika to nauka o metodach wnioskowania i poprawnym rozumowaniu, ustalająca reguły, których naruszenie prowadzi do błędów. Ucząc się matematyki badamy pewne zależności, formułujemy twierdzenia, wyciągamy wnioski i stosujemy pewne reguły, które pozwalają precyzyjnie przedstawić tok rozumowa- nia i sposób zapisu naszych myśli. Do tego służą nam zdania, często zapisywane z użyciem symboli matematycznych. Za prekursora logiki uważa się Arystotelesa (384 p.n.e.–322 p.n.e.). Logika matematyczna, jako dziedzina wiedzy, rozwinęła się na przełomie XIX i XX wieku. Ćwiczenie 1. Wyszukaj w internecie nazwiska Polaków, którzy przyczynili się do roz- woju logiki matematycznej. Definicja Zdaniem w sensie logiki nazywamy takie wypowiedzenie, któremu można jednoznacznie przyporządkować jedną z dwóch wartości logicznych: prawdę (1) lub fałsz (0). W logice matematycznej zdania oznaczamy najczęściej symbolami: p , q , r , s , ... . W sensie logiki zdaniami nie są pytania i wykrzyknienia.

Zdanie p

Wartość logiczna zdania p to nie jest zdanie w sensie logiki

Lp.

1. Zrób zakupy!

2.

7 8 65 ⋅ =

0 1

3. Liczba 0,5 jest odwrotnością liczby 2.

Przekątna kwadratu jest krótsza od każdego jego boku. Suma miar wszystkich kątów wewnętrznych każdego trójkąta jest równa 180°.

4.

0

5.

1

6. Czy pójdziesz do kina?

to nie jest zdanie w sensie logiki to nie jest zdanie w sensie logiki to nie jest zdanie w sensie logiki

7. Liczba naturalna n jest podzielna przez 2. 8. Najładniejsze z wielokątów to sześciokąty.

Zdanie Najładniejsze z wielokątów to sześciokąty wartościuje wielkości, których praw- dziwości nie można ocenić wsensie logiki.

8

1. Język i symbole logiki w matematyce

Rodzaje zdań złożonych Rozróżniamy zdania proste i zdania złożone, np. Liczba 15 jest nieparzysta to zdanie proste. Zdania proste można łączyć w zdania złożone, używając spójników logicznych , tzw. funktorów zdaniotwórczych , np. Liczba 15 jest nieparzysta i jest podzielna przez 5 .

Nazwa zdania ze spójnikiem logicznym

Symboliczny zapis zdania złożonego

Spójnik logiczny Symbol spójnika logicznego

~ p

~ ∧ ∨

nieprawda, że …

negacja

p q ∧ p q ∨

… i …

koniunkcja alternatywa implikacja

… lub …

p q ⇒

jeżeli … to … … wtedy i tylko wtedy, gdy…

p q ⇔

równoważność

Negacja zdania

Definicja

Negacją , czyli zaprzeczeniem zdania p , nazywamy zdanie nieprawda, że p , co zapisujemy ~ p .

Wartości logiczne negacji

p

~ p

Zdanie Wartość logiczna zdania

Uwaga Negacja (zaprzeczenie) zdania prawdziwego jest zdaniem fałszywym, a negacja zdania fałszywego jest zdaniem prawdziwym.

1 0 0 1

Wartość logiczna zdania ~ p

Wartość logiczna zdania p

Zdanie ~ p

Zdanie p

5 3 8 + =

1

5 3 8 + ≠

0

Numer NIP ma sześć cyfr.

Nieprawda, że numer NIP ma sześć cyfr.

0

1

Ćwiczenie 2. Utwórz negację zdania i oceń wartość logiczną zdania oraz jego zaprze- czenia: a) 7 2 1 : > , b) każdy kwadrat ma oś symetrii, c) 0 3 5 : = , d) ~ 3 5 20 ⋅ = ( ) .

*) NIP – Numer Identyfikacji Podatkowej

9

Rodzaje zdań złożonych

Definicja Koniunkcją zdań nazywamy zdanie złożone z dwóch zdań p i q , połączonych spójnikiem „ i ”, czyli zdanie p i q . Koniunkcja zdań

Koniunkcję zdań p i q zapisujemy p q ∧ , czytamy p i q .

Wartości logiczne koniunkcji Zdanie p q p q ∧

Uwaga Koniunkcja dwóch zdań jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania p i q są prawdziwe.

1 1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 0

Wartość logiczna zdania

Wartość logiczna zdania p q ∧

Wartość logiczna zdania p

Wartość logiczna zdania q

Zdanie p q ∧

Zdanie p

Zdanie q

Dzień jest przeciwieństwem nocy i noc jest przeciwieństwem dnia. 2 jest liczbą całkowitą i 2 jest liczbą całkowitą.

Dzień jest przeciwieństwem nocy.

Noc jest przeciwieństwem dnia.

1

1

1

2 jest liczbą całkowitą.

2 jest liczbą całkowitą.

0

0

1

5 7 > ∧ 3 7 < 2 2 > ∧ 3 3 >

5 7 >

0 0

3 7 <

1 0

0 0

2 2 >

3 3 >

Ćwiczenie 3. Oceń wartość logiczną koniunkcji zdań. a) Liczba 3 jest pierwiastkiem równania 2 6 0 x − = i liczba 5 jest dzielnikiem liczby 25. b) Liczba 2 jest liczbą naturalną i liczbą pierwszą. c) Każdy prostokąt jest trapezem i ma wszystkie kąty równe. d) 2 5 > i 3 1 < . e) Liczby 2 i 5 są dzielnikami liczby 30. f) 4 3 5 2 > − = i .

10

1. Język i symbole logiki w matematyce

Definicja Alternatywą zdań nazywamy zdanie złożone z dwóch zdań p i q , połączonych spójnikiem „ lub ”, czyli zdanie p lub q . Alternatywa zdań

Alternatywę zdań p i q zapisujemy p q ∨ , czytamy p lub q .

Wartości logiczne alternatywy Zdanie p q p q ∨

Uwaga • Alternatywa dwóch zdań jest zdaniem fałszywym wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania są fałszywe. • Niekiedy znaczenie spójnika „lub” w matematyce jest inne niż w języku polskim.

1 1 1 0 0 1 0 0

1 1 1 0

Wartość logiczna zdania

Wartość logiczna zdania p q ∨

Wartość logiczna zdania p

Wartość logiczna zdania q

Zdanie p q ∨

Zdanie p

Zdanie q

Warszawa jest miastem lub Warszawa jest stolicą Polski.

Warszawa jest miastem.

Warszawa jest stolicą Polski.

1

1

1

4 2 2 =

4 2 2 >

4 2 4 2 2 2 = ∨ >

1

0

1

Romb jest trapezem. 31 10 16 − =

Romb jest kołem lub trapezem.

Romb jest kołem.

0

1

1

0 24 6 5 31 10 16 : = ∨ − =

24 6 5 : =

0

0

Ćwiczenie 4. W zdaniu złożonym wskaż zdania proste, z których składa się alternatywa i oceń jej wartość logiczną. a) Każdy uczeń klasy pierwszej liceum ma pięć lub sześć lat. b) Każdy kwadrat jest rombem lub równoległobokiem. c) Liczba 12 jest podzielna przez 3 lub liczba 4 jest liczbą pierwszą. d) Każdy czworościan jest ostrosłupem lub wielościanem.

11

Rodzaje zdań złożonych

Implikacja zdań

Implikację o poprzedniku p i następniku q zapisujemy p q ⇒ , czytamy jeżeli p , to q . Definicja Implikacją zdań o poprzedniku p i następniku q nazywamy zdanie złożone mające postać jeżeli p , to q .

Wartości logiczne implikacji Zdanie

p q p q ⇒

Uwaga Implikacja p q ⇒ jest zdaniem fałszywym wtedy i tylko wtedy, gdy p jest zdaniem prawdziwym, a q fałszywym.

1 1 1 0 0 1 0 0

1 0 1 1

Wartość logiczna zdania

Zdanie p – poprzednik implikacji, zdanie q – następnik implikacji.

Wartość logiczna zdania p q ⇒

Wartość logiczna zdania p

Wartość logiczna zdania q

Zdanie p q ⇒

Zdanie p

Zdanie q

Skrzyp jest rośliną zarodnikową.

Jeżeli skrzyp jest paprotnikiem, to jest rośliną zarodnikową. Jeżeli skrzyp jest paprotnikiem, to jest rośliną nasienną.

Skrzyp jest paprotnikiem.

1

1

1

Skrzyp jest rośliną nasienną.

Skrzyp jest paprotnikiem.

1

0

0

2 0 < ⇒ 2 0 > 1 2 = ⇒ 2 3 =

2 0 < 1 2 =

0 0

2 0 > 2 3 =

1 0

1 1

Ćwiczenie 5. Oceń wartość logiczną implikacji. a) Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma miar jego kątów wewnętrznych ostrych jest równa 90°. b) Jeżeli 7 jest dzielnikiem liczby 8, to 8 jest dzielnikiem liczby 9. c) Jeżeli 10 2 5 : = , to 5 2 25 + = . d) 2 3 7 8 2 4 ⋅ = ⇒ = : . e) Jeżeli liczba 10 dzieli się przez 2, to 10 jest liczbą parzystą. f) Jeżeli 2 5 < , to 7 9 > .

12

1. Język i symbole logiki w matematyce

Równoważność zdań

Równoważność zdań p i q zapisujemy p q ⇔ , czytamy p wtedy i tylko wtedy, gdy q . Definicja Równoważnością zdań nazywamy zdanie złożone ze zdań p i q , połączonych spójnikiem logicznym wtedy i tylko wtedy .

Wartości logiczne równoważności Zdanie p q p q ⇔

Uwaga Równoważność dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy albo oba zdania są prawdziwe, albo oba fałszywe.

1 1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1

Wartość logiczna zdania

Wartość logiczna

Wartość logiczna zdania p

Wartość logiczna zdania q

Zdanie p q ⇔

Zdanie p

Zdanie q

zdania p q ⇔

− < ⇔ > 2 0 2 0

− < 2 0

1 1

2 0 >

1 0

1 0

27 3 9 : =

3 9 28 ⋅ =

27 3 9 3 9 28 : = ⇔ ⋅ = Kraków jest stolicą Polski wtedy i tylko wtedy, gdy Kraków był stolicą Polski. 6 jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy 5 jest liczbą złożoną.

Kraków był stolicą Polski.

Kraków jest stolicą Polski.

0

1

0

6 jest liczbą pierwszą.

5 jest liczbą złożoną.

0

0

1

Ćwiczenie 6. Oceń wartość logiczną równoważności: a) 8 0 88 0 < ⇔ < . b) 5 0 0 0 5 0 ⋅ = ⇔ ⋅ = . c) − ( ) = − ⇔ − ( ) ⋅ − ( ) ⋅ − ( ) = − 2 8 2 2 2 8 3 . d) 3 3 3 0 3 3 3 0 − − − ( ) [ ] > ⇔ + − − ( ) [ ] > . Definicja Formą zdaniową nazywamy wyrażenie, w którym występują zmienne i które zmienia się w zdanie logiczne (prawdziwe lub fałszywe), gdy za zmienne podstawimy wartości liczbowe lub nazwy przedmiotów.

13

Rodzaje zdań złożonych

Formy zdaniowe oznaczamy np.: p x ( ) , f y ( ) , q n ( ) , gdzie x , y , n to zmienne form zdaniowych. Uwaga • Dziedziną formy zdaniowej jest zbiór takich elementów, które po podstawieniu do formy zdaniowej w miejsce zmiennej, czynią ją zdaniem w sensie logiki. • Mówimy, że pewien element spełnia formę zdaniową pewnej zmiennej, jeśli po podstawieniu go w jej miejsce otrzymamy zdanie prawdziwe. Zdanie Liczba naturalna n jest podzielna przez 2 jest zdaniem oznajmującym, ale nie określa wartości liczby n . Nie można więc ocenić jego wartości logicznej. Jeśli w zdaniu w miejsce zmiennej n wstawimy liczbę, np.:

• 100, to otrzymamy zdanie prawdziwe, • 51, to otrzymamy zdanie fałszywe.

Wyrażenie Liczba naturalna n jest podzielna przez 2 w sensie logiki jest formą zdaniową ze zmienną n .

Zdanie Dla każdego x prawdziwa jest nie- równość x 2 0 ≥ zapisujemy symbolicznie ∀ x x 2 0 ≥ .

Zdanie Istnieje takie x , że x − < 4 0 zapisujemy symbolicznie ∃ − < x x 4 0 .

Ćwiczenie 7. Zapisz słownie zdanie: a) ∀ x

b) ∃ x

x + ( ) ≥ 1 0 2 ,

x x 3 5 6 − < .

Uwaga

Zapis symboliczny Zapis słowny ( czytamy )

∀ x

dla każdego x

Kwantyfikator ogólny (duży)

∃ x

istnieje takie x , że

Kwantyfikator szczegółowy (mały)

Ćwiczenie 8. Zapisz zdanie za pomocą symboli logicznych, znaków działań, znaków równości lub nierówności oraz kwantyfikatorów.

a) Istnieje taka liczba x , która pomnożona przez 4 daje 1000. b) Czwarta potęga każdej liczby x jest liczbą nieujemną.

14

1. Język i symbole logiki w matematyce

Twierdzenie i jego dowód

Twierdzeniem w matematyce nazywamy każde zdanie udowodnione w danej teorii mate- matycznej. Jeżeli twierdzenie ma postać implikacji Z T ⇒ , której poprzednik Z nazywamy założeniem , a następnik T nazywamy tezą , to przyjmujemy następującą terminologię: implikacja prosta Z T ⇒ implikacja przeciwna do implikacji prostej ~ ~ Z T ⇒ implikacja odwrotna do implikacji prostej T Z ⇒ implikacja przeciwstawna do implikacji prostej ~ ~ T Z ⇒ . Uwaga Jeżeli dla twierdzenia prostego mającego postać implikacji Z T ⇒ , prawdziwa jest implikacja odwrotna T Z ⇒ , to mówimy, że do twierdzenia prostego istnieje twierdzenie odwrotne. Przykład 1. W twierdzeniu „Jeżeli liczba n jest podzielna przez 4, to liczba n jest po- dzielna przez 2.”: 1) wskaż założenie Z i tezę T , 2) oceń wartość logiczną implikacji odwrotnej T Z ⇒ . Rozwiązanie 1) Jeżeli liczba n jest podzielna przez 4 , to liczba n jest podzielna przez 2.

teza T

założenie Z

2) Twierdzenie odwrotne: Jeżeli liczba n jest podzielna przez 2 , to liczba n jest podzielna przez 4.

założenie T teza Z Wartość logiczna implikacji odwrotnej T Z ⇒ jest równa 0.

Uwaga Jeżeli prawdziwa jest implikacja prosta Z T ⇒ i implikacja odwrotna T Z ⇒ , to prawdziwa jest równoważność Z T ⇔ .

Dowód, w którym, na podstawie założenia i wcześniej udowodnionych twierdzeń, wyciąga się kolejne wnioski, dochodząc do tezy twierdzenia, nazywa się dowodem wprost .

15

Twierdzenie i jego dowód

Innym sposobem dowodzenia jest dowód nie wprost, którego podstawę stanowi prawo transpozycji: Z T T Z ⇒ ( ) ⇔ ⇒ ( ) ~ ~ . W dowodzie tym zakładamy, że teza nie jest prawdziwa. Na podstawie kolejno wyciąga- nych wniosków dochodzimy do sprzeczności z założeniem dowodzonego twierdzenia lub innymi twierdzeniami wcześniej udowodnionymi.

Zamknięty układ twierdzeń (kwadrat logiczny)

Własności twierdzeń • Twierdzenia przeciwstawne są równoważne. • Twierdzenia przeciwne tworzą tak zwany zamknięty układ twierdzeń. Uwaga • Jeżeli prawdziwa jest implikacja Z T ⇒ , to T jest warunkiem koniecznym dla Z , a Z jest warunkiem wystarczającym dla T . • Jeżeli prawdziwa jest równoważność

Z T ⇒

T Z ⇒

odwrotne

odwrotne

~ ~ Z T ⇒

~ ~ T Z ⇒

Z T ⇔ , to Z jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla T (i odwrotnie).

Odpowiedzi do ćwiczeń 2. Zdanie

3. a) 1, b) 1, c) 1, d) 0, e) 1, f) 0. 4. a) 0, b) 1, c) 1, d) 1. 5. a) 1, b) 1, c) 0, d) 1, e) 1, f) 0. 6. a) 1, b) 1, c) 1, d) 0. 7. a) Dla każdego x prawdziwa jest nierówność x + ( ) ≥ 1 0 2 . b) istnieje takie x , że 3 5 6 x x − < . 8. a) ∃ = x x 4 1000, b) ∀ ≥ x x 4 0.

Wartość logiczna zaprzeczenia zdania

Wartość logiczna zdania

Zaprzeczenie zdania

0

7 2 1 : >

1

7 2 1 : ≤

.

Każdy kwadrat ma oś symetrii.

Kwadrat nie ma osi symetrii.

1

0

1 0

0 3 5 : =

0 1

0 3 5 :

.

~ 3 5 20 ⋅ = ( )

3 5 20 ⋅ =

Zadania utrwalające

1.1. Określ, czy podane wyrażenie jest zdaniem w sensie logiki. a) Czy lubisz śpiewać?

b) Mieszko I był królem Polski.

c) Liczby 2 i 6 są liczbami parzystymi.

d) Każdy trapez jest pięciokątem foremnym.

16

1. Język i symbole logiki w matematyce

e) 10 3 13 + = , g) 3 5 4 x + > ,

f) Istnieje trójkąt o dwóch kątach prostych.

h) x 2 4 0 + = . 1.2. Oceń wartość logiczną podanych zdań. a) 7 jest liczbą naturalną. b) Nieprawda, że 8 jest liczbą nieparzystą. c) Liczby 5 i 2 są dzielnikami liczby 30. d) 4 3 5 2 > − ∧ = .

e ) 2 3 7 8 2 4 ⋅ = ⇒ = : . f) Kąt o mierze 120° jest kątem ostrym lub kątem rozwartym. g) Jeżeli liczby 5, 12, 13 są długościami boków trójkąta, to ten trójkąt jest prostokątny. h) Przekątne każdego rombu są prostopadłe i mają tę samą długość. i) Każdy romb jest równoległobokiem. 1.3. Zapisz następujące zdania, używając kwantyfikatorów. a) Istnieje taka liczba rzeczywista x , która spełnia warunek x 3 27 = . b) Dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność x 2 1 0 + > . c) Niektóre liczby naturalne są większe od liczby 9 20 . d) Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną. 1.4. Zapisz słownie zdanie. a) ∀ x x 2 4 0 + > , b) ∀ x x x 2 = , c) ∃ x n 2 3 0 − = , d) ∃ x x x ⋅ = 1 , e) ∃ x x x 2 = , f) ∀ x a a > − ⇒ > − ( ) 1 3 3 , 1.5. Napisz twierdzenie Pitagorasa. a) Wskaż założenie i tezę. b) Napisz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa, a następnie wskaż w nim założenie i tezę. 1.6. Jaką liczbę należy wpisać w miejsce x ? Ustalamy regułę i zauważamy, że: 5 4 3 1 4 + + = , 5 7 6 1 3 + + = , 4 7 11 1 2 + + = , więc x = 2. 3 5 44 6 5 73 11 4 7 x g) ∀ x a a < ⇒ < ( ) 1 1 2 , h) ∀ x a a > ⇒ > ( ) 1 1 2 .

7

8

4

x 1 9

Ustal regułę i w miejsce x wpisz odpowiednią liczbę.

8 4 2

6 6 1

9 3 3

8 1

9

9

7

2. Zbiory i działania na nich

Zbiory i działania na nich

Zbiór określamy, podając jego elementy lub opisując warunki, które te elementy spełniają, np. zbiór dni tygodnia A = {poniedziałek, wtorek, środa, czwartek, piątek, sobota, niedziela} . • a jest elementem zbioru A zapisujemy a A ∈ i czytamy „ a należy do A ”. • a nie jest elementem zbioru A zapisujemy a A ∉ i czytamy „ a nie należy do A ”. Przykład 1. Podaj przykład dwóch liczb, które są elementami zbioru B takiego, że B = − { } 3 0 1 5 , , , , oraz przykład liczby, która do zbioru B nie należy. Rozwiązanie . Liczba 1 jest elementem zbioru B , co zapisujemy 1 ∈ B , Zbiory będziemy oznaczać dużymi literami alfabetu, np.: A , B , C , T , X , ... . Elementy zbioru będziemy oznaczać małymi literami alfabetu, np.: a , b , x , y , ... . Stwierdzenie, że: Punktem wyjścia do definiowania wielu nowych pojęć w matematyce jest pojęcie zbioru. Mówimy o zbiorze uczniów w szkole, zbiorze samochodów na parkingu, zbiorze książek na półce, zbiorze rozwiązań równania itp. Jednak gdyby ktoś nas zapytał, co to jest zbiór, to nie udzielimy ścisłej odpowiedzi. Zbiór to pojęcie pierwotne , czyli takie, którego nie definiujemy. Ćwiczenie 1. Które spośród liczb –4, –1, 0, 2, 4 są, a które nie są elementami zbioru A takiego, że A = − − { } 2 1 0 1 2 3 , , , , , ? Ze względu na liczbę elementów rozróżniamy zbiory skończone i nieskończone. Zbiór skończony to zbiór, którego liczba elementów jest równa pewnej liczbie naturalnej n , np. zbiór uczniów w twojej szkole. Zbiór o elementach a , b , c może mieć zapis symboliczny a b c , , { } lub b c a , , { } , lub a c b a , , , { } , ... . Zatem a b c b c a a c b a , , , , , , , ... { } = { } = { } = . Zbiór pusty (oznaczamy go symbolem ) to zbiór skończony, który nie ma żadnego elementu, np. zbiór liczb rzeczywistych spełniających równanie x 2 3 = − . Zbiór nieskończony to zbiór, który nie jest skończony (ma nieskończenie wiele elemen- tów), np. zbiór liczb naturalnych. liczba 5 jest elementem zbioru B , co zapisujemy 5 ∈ B , liczba 3 nie jest elementem zbioru B , co zapisujemy 3 ∉ B .

Uwaga Wypisując elementy zbioru nieskończonego, zwykle piszemy kilka kolejnych elemen- tów, a w miejsce pozostałych wstawiamy wielokropek, np.: • zbiór liczb naturalnych parzystych: 0 2 4 6 , , , , ... } { , • zbiór liczb całkowitych ujemnych: ..., , , , − − − − } { 4 3 2 1 . Wmatematyce szczególnie ważną rolę odgrywają te zbiory, których elementami są liczby. Nazywamy je zbiorami liczbowymi . 18 2. Zbiory i działania na nich

Ćwiczenie 2. Spośród zbiorów A , B , C , D i E takich, że: • A to zbiór wszystkich liczb naturalnych nie większych niż 5, • B to zbiór wszystkich naturalnych dzielników liczby 12, • C to zbiór wszystkich potęg liczby 3 o wykładnikach naturalnych, • D to zbiór wszystkich liczb x spełniających warunek x < 0, • E to zbiór wszystkich liczb x spełniających równanie 2 1 0 x + = ,

wybierz ten, który jest: a) zbiorem skończonym,

b) zbiorem nieskończonym, c) zbiorem pustym, d) zbiorem jednoelementowym.

Definicja

Zbiór A zawiera się w zbiorze B , co zapisujemy A B ⊂ , gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B . Zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B .

Uwaga • Każdy zbiór jest jednocześnie swoim podzbiorem, bo każdy element zbioru A jest elementem zbioru A . • Przyjmujemy, że zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru. Ćwiczenie 3. Określ relacje zawierania się zbiorów A , B , C i D , gdy: A – zbiór trapezów, B – zbiór równoległoboków, C – zbiór prostokątów, D – zbiór rombów.

A A ⊂ ∅ ⊂ A

Twierdzenie

Jeżeli A B ⊂ i B A ⊂ , to A B = .

A

A B B ⊂ ⊂ i

19

Część wspólna zbiorów (iloczyn zbiorów)

Na zbiorach wykonujemy działania. Wyznaczamy iloczyn (inaczej część wspólną), sumę (inaczej złączenie) i różnicę zbiorów. Pojęcia te wyjaśnimy na przykładzie.

Przykład 2. Czternastu uczniów klasy Ia w ramach zajęć pozalekcyjnych uprawia pły- wanie lub grę w piłkę nożną. Wiadomo też, że uczeń może uprawiać obie te dyscypliny. Wdzienniku zajęć pozalekcyjnych uczniowie uprawiający pływanie są zapisani na liście od numeru 1 do 8, natomiast uprawiający piłkę nożną zapisani są od numeru 6 do 14. Pisząc 1 , mamy na myśli Alę , pisząc 8 , mamy na myśli Pawła , pisząc 14 , mamy na myśli Tadka itd. Opisaną sytuację przedstawiamy graficznie.

A – zbiór uczniów uprawiających pływanie, B – zbiór uczniów uprawiających piłkę nożną.

Oznaczenie:

Część wspólna zbiorów (iloczyn zbiorów) Analizując zawarte wprzykładzie 2. informacje o uczniach, zauważamy, że troje uczniów zapisanych pod numerami 6, 7 i 8 uprawia pływanie i grę w piłkę nożną. Mówimy, że zbiór uczniów uprawiających obie te dys- cypliny sportowe jest częścią wspólną zbiorów A i B , co zapisujemy A B ∩ = { , , } 6 7 8 .

Definicja

Częścią wspólną zbiorów A i B (iloczynem zbiorów A i B ) nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B . Część wspólną zbiorów A i B oznaczamy A B ∩ .

x A B ∈ ∩ oznacza, że x A ∈ i x B ∈

20

2. Zbiory i działania na nich

Do części wspólnej zbiorów A i B należą te elementy, które należą jednocześnie do obu tych zbiorów. Część wspólną zbiorów A i B można zilustrować za pomocą rysunku.

A B ∩

Ćwiczenie 4. Wyznacz zbiór A B ∩ , gdy: a) A = − − { } 7 3 1 6 , , , , B = − { } 3 0 3 , , ,

{ } 1 3

b) A = {

}

,3 13 , B =

π ,

2 , ,

c) A a b k x = { } , , , , B b x = { } , .

Przykład 3. Wyznacz zbiór A B ∩ , gdy: A – zbiór liczb całkowitych dodatnich, B – zbiór liczb całkowitych ujemnych. Rozwiązanie . Nie ma liczb, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B . Zbiory te nie mają elementów wspólnych. Mówimy o nich, że są rozłączne. Ich wspólna część jest zbiorem pustym, co zapisujemy A B ∩ = ∅ .

Definicja

Dwa zbiory, których wspólna część jest zbiorem pustym, nazywamy rozłącznymi .

Ćwiczenie 5. Wypisz pary zbiorów rozłącznych przedsta- wionych na rysunku.

Suma zbiorów (złączenie zbiorów) Zbiór uczniów uprawiających co najmniej jedną z dyscy- plin sportowych z przykładu 2. jest sumą zbiorów A i B , co zapisujemy A B ∪ = { } 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 .

A B ∪

Definicja

Sumą dwóch zbiorów A i B nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub należą do zbioru B . Sumę zbiorów A i B oznaczamy A B ∪ .

x A B ∈ ∪ oznacza, że x A x B ∈ ∈ lub

Ćwiczenie 6. Wyznacz sumę zbiorów A i B , gdy: a) A = − { } 3 0 3 , , , B = − { } 1 0 1 , , , b) A = − {

} 1 0 1 2 , , , , B = { } 0 1, .

21

Różnica zbiorów

Różnica zbiorów Jeżeli spośród uczniów klasy Ia z przykładu 2., upra- wiających pływanie lub grę w piłkę nożną, wszyscy trenujący grę w piłkę nożną wyjechali na zgrupowanie, to zbiór uczniów, którzy pozostali w szkole, zapisujemy symbolicznie i jest on różnicą zbiorów A i B .

A B \

Definicja

Różnicą dwóch zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B . Różnicę zbiorów A i B oznaczamy A B \ .

x A B ∈ \ oznacza, że x A x B ∈ ∉ i

Uwaga Dla zbiorów A i B z przykładu 2. możemy określić dwie różnice: A B \ i B A \ . A B \ – zbiór uczniów, którzy uprawiają tylko pływanie. B A \ – zbiór uczniów, którzy uprawiają tylko piłkę nożną.

, , , , = { } 1 2 3 4 5

, , , , , = { } 9 10 11 12 13 14

A B \

B A \

Ćwiczenie 7. Wiedząc, że A = {

} 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , , , , , , , , , , B = {

} 1 3 5 7 9 , , , , ,

C = { } 2 4 6 8 , , , , wyznacz różnice zbiorów: A B \ , B A \ , B C \ , C B \ .

Przykład 4. Zbiór A jest zbiorem trójkątów prostokątnych, a zbiór B zbiorem trójkątów równoramiennych. Nazwij trójkąty należące odpowiednio do zbiorów: A B ∩ , A B ∪ ,

A B \ , B A \ . Rozwiązanie

Do zbioru A B ∩ należą trójkąty prostokątne równoramienne, do zbioru A B ∪ należą trójkąty prostokątne lub równoramienne, do zbioru A B \ należą trójkąty prostokątne, które nie są równoramienne, do zbioru B A \ należą trójkąty równoramienne, które nie są prostokątne.

22

2. Zbiory i działania na nich

Definicja

Jeżeli A B ⊂ , to różnicę B A \ nazywamy dopełnieniem zbioru A do zbioru B .

B A \

Ćwiczenie 8. Zbiór X jest zbiorem wszystkich trójkątów, A – zbiorem trójkątów ostro- kątnych, B – zbiorem trójkątów prostokątnych, C – zbiorem trójkątów rozwartokątnych. Nazwij trójkąty należące odpowiednio do zbioru: a) X A \ , b) X B \ , c) X C \ . Odpowiedzi do ćwiczeń 1. − ∉ 4 A , − ∈ 1 A , 0 ∈ A , 2 ∈ A , 4 ∉ A . 2. a) A , B , E , b) C , c) D , d) E . 3. B A ⊂ , D A ⊂ , C A ⊂ , C B ⊂ , D B ⊂ . 4. a) − } { 3 , b) Ø, c) b x , } { . 5. A B ∩ = ∅ , A C ∩ = ∅ . 6. a) − − } { 3 1 0 1 3 , , , , , b) − } { 1 0 1 2 , , , . 7. A B \ , , , , = } { 0 2 4 6 8 , B A \ = ∅ , B C B \ = , C B C \ = . 8. a) Trójkąty rozwartokątne lub prostokątne, b) trójkąty rozwartokątne lub ostrokątne, c) trójkąty ostrokątne lub prostokątne. Zadania utrwalające 2.1. Określ, jakim zbiorem, skończonym czy nieskończonym, jest zbiór A , gdy: a) A = } { 1 2 3 4 5 6 7 , , , , , , , ... , b) A = − − − } { 5 3 1 1 3 5 , , , , , , c) A = } { 1 2 4 8 16 32 64 , , , , , , , ... , d) A = − − − } { ..., , , , , , , , ... 6 4 2 0 2 4 6 . 2.2. Wypisz niepuste podzbiory trójelementowego zbioru liter a b c , , } { . Ile podzbiorów otrzymałaś(eś)? Czy pamiętałaś(eś), że każdy zbiór jest swoim podzbiorem? 2.3. W supermarkecie na półce znajdują się 234 opakowania płynów do prania, w tym 157 do prania wyłącznie w pralkach automatycznych i 97 do prania ręcznego. Czy wśród wszystkich opakowań są płyny, które można stosować do prania ręcznego i do prania w pralce automatycznej? Ile jest takich płynów? 2.4. Z klasy liczącej 32 uczniów na wakacje wyjechali wszyscy. Osiemnastu wyjechało do rodziny, a dwudziestu czterech poza województwo, w którym mieszkają. Ilu uczniów spędziło wakacje u rodziny mieszkającej poza województwem? 2.5. Wiedząc, że zbiór A jest zbiorem liczb całkowitych nie mniejszych niż –2 i mniejszych niż 5, a zbiór B zbiorem liczb naturalnych nie większych niż 7, wypisz elementy zbioru: a) A , b) B , c) A B ∪ , d) A B ∩ , e) A B \ , f) B A \ .

23

Różnica zbiorów

2.6. Stacje radiowe A i B położone są w odległości 40 km od siebie. Audycje nadawane przez stację A mogą być odbierane w promieniu 30 km od niej, zaś audycje nadawane przez stację B w promieniu 20 km od niej.

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D. Rejon zasięgu obu stacji radiowych jednocześnie przedstawiono na rysunku: A. I, B. II. Rejon zasięgu co najmniej jednej z tych stacji przedstawiono na rysunku: C. III, D. IV. 2.7. Wiedząc, że: • X to zbiór liczb naturalnych dwucyfrowych, • A to zbiór parzystych liczb naturalnych dwucyfrowych,

• B to zbiór liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 3, • C to zbiór liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6, opisz słowami zbiór: a) A B ∪ , b) B C ∩ , c) X C ∩ , d) X A \ , 2.8. Zbiory A , B , C przedstawiono za pomocą grafu. Na oddzielnych rysunkach pokoloruj zbiory:

e) X C ∪ .

A

B

a) D A B C = ∪ ∪ , b) E A B C = ∩ ( ) ∪ , c) F A B C = ∪ ( ) \ , d) H A B C = ( ) ∩ \ .

C

2.9. Opisz za pomocą działań na zbiorach A , B i C zbiory pokolorowane poniżej. a) b) c)

A

A

A

B

B

B

C

C

C

3. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

W szkole podstawowej wykonywaliście działania na liczbach naturalnych, całkowitych, wymiernych oraz na liczbach, które nie są wymierne. Wszystkie poznane we wcześniejszych latach nauki liczby tworzą zbiór liczb rzeczywistych, który oznaczamy symbolem R . Np.: 0 ∈ R , − ∈ 2 R , 2 3 ∈ R , 3 2 ∈ R , π ∈ R . W matematyce liczby o określonej własności tworzą zbiory liczbowe, które oznacza się symbolami jak w tabeli.

Zbiór liczb: naturalnych całkowitych wymiernych niewymiernych rzeczywistych

Oznaczenie międzynarodowe

N

Z

Q

R \ Q

R

Ćwiczenie 1. Podaj trzy liczby, które należą do zbioru liczb: a) naturalnych ( N ), b) wymiernych ( Q ), c) całkowitych ( Z ).

Liczby naturalne Przypomnijmy

n Liczby naturalne : 0, 1, 2, 3, 4, ... . Najmniejszą liczbą naturalną jest liczba zero. Wśród liczb naturalnych wyróżniamy liczby pierwsze i liczby złożone. • Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która jest podzielna tylko przez 1 i przez samą siebie, np. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. • Liczba złożona to liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielni- ki naturalne, np. 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14. • Każda liczba złożona ma co najmniej jeden dzielnik, który jest liczbą pierwszą. • Każdą naturalną liczbę złożoną można w sposób jednoznaczny przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. • Liczb 0 i 1 nie zaliczamy ani do liczb pierwszych, ani do liczb złożonych. 1 n + +1 +1 +1 +1

25

Liczby naturalne

Uwaga  Wszystkie liczby naturalne tworzą zbiór liczb naturalnych, który oznaczamy N . • N = { } 0 1 2 3 4 , , , , , ... – zbiór liczb naturalnych. • N + = { } 1 2 3 4 , , , , ... – zbiór liczb naturalnych dodatnich.  Zbiór N jest zbiorem nieskończonym. Nie można podać największej liczby naturalnej. Ćwiczenie 2. Spośród liczb naturalnych większych od 17 i mniejszych od 30 wypisz: a) wszystkie liczby pierwsze, b) wszystkie liczby złożone. Przedstawienie liczby złożonej w postaci iloczynu liczb pierwszych nazywamy rozkładem na czynniki pierwsze . Pokażemy to na przykładach.

Przykład 1. Rozłóż na czynniki pierwsze liczbę 132 i zapisz ją jako iloczyn liczb pierwszych.

Rozwiązanie

132 2 66 2 33 3

pierwszy iloraz drugi iloraz trzeci iloraz czwarty iloraz

11 11

1

Odp.: 132 2 2 3 11 = ⋅ ⋅ ⋅ .

Cechy podzielności liczb Ćwiczenie 3. Rozłóż na czynniki pierwsze liczbę: a) 70, b) 192, c) 2016.

Liczba naturalna jest podzielna przez:

2 , 3 ,

jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 albo 8, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3,

4 , jeśli liczba, wyrażona kolejnymi dwiema ostatnimi jej cyframi, jest podzielna przez 4, 5 , jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5, 6 , jeśli jest podzielna przez 2 i przez 3, 8 , jeśli liczba, wyrażona trzema kolejnymi ostatnimi jej cyframi, jest podzielna przez 8, 9 , jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9, 10 , jeśli ostatnią jej cyfrą jest 0, 25 , jeśli jej dwie ostatnie cyfry to zera lub liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 25.

26

3. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

Ćwiczenie 4. Sformułuj cechę podzielności przez 100. Ćwiczenie 5. Przerysuj do zeszytu tabelę i wmiejsce wpisz cyfrę tak, aby otrzymana liczba była podzielna przez podany obok dzielnik.

Rozkład na czynniki ułatwia namwyznaczanie największego wspólnego dzielnika ( NWD ) liczb oraz ich najmniejszej wspólnej wielokrotności ( NWW ). Jeżeli a i b są różnymi dodatnimi liczbami naturalnymi, to: •  NWD a b , ( ) to największa liczba, przez którą są podzielne liczby a i b . •  NWW a b , ( ) to najmniejsza liczba, która jest podzielna przez liczby a i b . Uwaga Najmniejszą wspólną wielokrotność NWW różnych liczb naturalnych dodatnich a i b można wyznaczyć z zależności NWW NWD a b ab a b , , ( ) = ( ) .

Przykład 2. Oblicz NWD i NWW liczb: a) 90 i 54, b) 2 7 2 5 ⋅ i 2 7 3 3 ⋅ . Rozwiązanie a) 90 2 3 3 5 = ⋅ ⋅ ⋅ , 54 2 3 3 3 = ⋅ ⋅ ⋅ . NWD 90 54 18 2 3 3 , ( ) = ⋅ ⋅ = , NWW 90 54 270 2 3 3 5 3 , ( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = . 90 2 54 2 45 3 27 3 15 3 9 3 5 5 3 3 1 1 b) 2 7 2 7 7 2 5 2 3 2 ⋅ = ⋅ ⋅ , 2 7 2 72 3 3 2 3 ⋅ = ⋅ ⋅ . NWD 2 7 2 7 2 7 2 5 3 3 2 3 ⋅ ⋅ ( ) = ⋅ , , I sposób NWW 2 7 2 7 2 7 2 7 7 2 2 5 3 3 3 5 2 3 2 ⋅ ⋅ ( ) = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ , ,

II sposób NWW 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 5 3 3 2 5 3 3 2 3 ⋅ ⋅ ( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , Odp.: a) NWD 90 54 18 , ( ) = , NWW 90 54 270 , ( ) = , b) NWD 2 7 2 7 2 7 2 5 3 3 2 3 ⋅ ⋅ ( ) = ⋅ ,

3 5

2 7

.

= ⋅

, NWW 2 7 2 7 2 7 2 5 3 3 3 5 ⋅ ⋅ ( ) = ⋅ , .

27

Liczby naturalne

Ćwiczenie 6. Oblicz NWW i NWD liczb: a) 2 3 7 3 5 3 ⋅ ⋅ i 2 3 7 2 ⋅ ⋅ , b) 3 7 11 3 2 ⋅ ⋅ i 3 7 11 2 4 3 ⋅ ⋅ . Ćwiczenie 7. Uzasadnij, że każde dwie kolejne liczby naturalne dodatnie są względnie pierwsze, czyli że NWD n n , + ( ) = 1 1, gdy n jest liczbą naturalną dodatnią.

Przykład 3. Uzasadnij twierdzenie.

Twierdzenie Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Dowód wprost Z (założenie)

Dowód nie wprost zaprzeczenie tezie T

dowód

zaprzeczenie założenia Z c.k.d. dowód

T (teza) c.n.u.

Dowód przeprowadzimy metodą nie wprost. W dowodzie tym zakładamy, że teza nie jest prawdziwa. Na podstawie kolejno wyciąganych wniosków dochodzimy do sprzecz- ności z założeniem dowodzonego twierdzenia lub innymi twierdzeniami wcześniej udowodnionymi.

Z ( założenie ) :

T ( teza ) :

P – zbiór wszystkich liczb pierwszych,

P – zbiór nieskończony.

Dowód: 1° Zaprzeczamy tezie T , czyli zakładamy, że zbiór P wszystkich liczb pierwszych jest zbiorem skończonym i największą liczbą pierwszą jest p , P p = { } 2 3 5 7 97 , , , , ... , , ... , . 2° Tworzymy liczbę a , która jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych ze zbioru P , a p = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 3 5 7 97 ... ... . 3° Wnioskujemy, z 1° i 2°, że: • liczba a + 1 jest liczbą złożoną, • liczby a + 1 w rozkładzie na czynniki pierwsze nie można przedstawić w postaci iloczynu elementów zbioru P . 4° Wniosek z 3°. Poza zbiorem P musi istnieć co najmniej jedna liczba pierwsza, która będzie się znajdować w rozkładzie na czynniki liczby a + 1. 5° Wniosek z 4°. Zbiór P nie jest zbiorem skończonym. c.k.d. Zatem istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Nie jest elementem zbioru P. NWD a a , + ( ) = 1 1 Zaprzeczenie założenia.

28

3. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

Uwaga Jeżeli m p p n n = ⋅ 1 to liczba m ma n 1 2

k n k

p

2 ...

jest rozkładem liczby naturalnej m na czynniki pierwsze,

⋅ ⋅

n k + ( ) ... dzielników, gdzie n 1 1

1 + ( ) ⋅

n + ( ) ⋅ ⋅ 1

, n 2

, …, n k są

1

2

dodatnimi liczbami naturalnymi.

Przykład 4. Oblicz, ile dzielników naturalnych ma liczba 120. Rozwiązanie . Rozkładamy liczbę 120 na czynniki pierwsze: 120 2 3 5 3 1 1 = ⋅ ⋅ , więc p 1 2 = i n 1 3 = , p 2 3 = i n 2 1 = , p 3 Liczba naturalnych dzielników liczby 120 jest równa 3 1 1 1 1 1 4 2 2 16 + ( ) ⋅ + ( ) ⋅ + ( ) = ⋅ ⋅ = . Odp.: Liczba 120 ma 16 dzielników.

5 = i n 3

1 = .

Ćwiczenie 8. Oblicz, ile dzielników naturalnych ma liczba: a) 450, b) 1520, c) 1 000 000.

Uwaga Wśród kolejnych liczb naturalnych dodatnich:

co druga jest parzysta

n , n + 1 – dwie kolejne liczby naturalne dodatnie, jedna z nich jest parzysta, a druga nieparzysta n , n + 1, n + 2 – trzy kolejne liczby naturalne, wśród których jedna jest podzielna przez 3 n , n + 1, n + 2, n + 3 – cztery kolejne liczby naturalne, wśród których jedna jest podzielna przez 4

co druga jest nieparzysta co trzecia jest podzielna przez 3 co czwarta jest podzielna przez 4 itd.

Przykład 5. Udowodnij, że iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 24. Rozwiązanie . Zapisujemy założenie Z i tezę T . Z (założenie): n , n + 1, n + 2, n + 3 – cztery kolej- ne liczby naturalne dodatnie. T (teza): Liczba n n n n ⋅ + ( ) ⋅ + ( ) ⋅ + ( ) 1 2 3 jest podzielna przez 24. Dowód: Wśród czterech kolejnych liczb naturalnych: jedna jest podzielna przez 4, co najmniej jedna jest podzielna przez 3 i co najmniej jedna jest podzielna przez 2, więc iloczyn n n n n ⋅ + ( ) ⋅ + ( ) ⋅ + ( ) 1 2 3 jest podzielny przez iloczyn 4 3 2 ⋅ ⋅ , czyli przez 24. c.n.u.

29

Liczby naturalne

Ćwiczenie 9. Udowodnij, że iloczyn: a) dwóch kolejnych liczb naturalnych dodatnich jest podzielny przez 2, b) pięciu kolejnych liczb naturalnych dodatnich jest podzielny przez 120.

Przypomnijmy

13 5:

dzielna

a q n r = ⋅ + , gdzie reszta r jest liczbą naturalną mniejszą od dzielnika q oraz n jest ilorazem.

dzielnik

reszta r

iloraz

12 6

r = 0 ,

2 = , więc

12 6 2 0 = ⋅ + ,

czyli

33 5

6 5 3 3 = = + , więc 33 5 6 3 = ⋅ + , 5 6

r = 3 ,

czyli

132 25

5 7 7 = = + , więc 132 25 5 7 = ⋅ + , czyli 5

r = 7 ,

25

25

1 5 5 5 1 1 = = + , więc 1 5 0 1 = ⋅ + , 0

r = 1 .

czyli

Przykład 6. Zapisz trzy kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez: a) 3 dają resztę 2, b) 5 dają resztę 1. Rozwiązanie a) Zauważamy, że kolejne liczby różnią się o 3, więc aby otrzymać następną liczbę, do poprzedniej należy dodać 3.

3 2 k + , gdzie k ∈ N , 3 3 3 2 5 k k + + = + , 3 6 3 2 8 k k + + = + . b) Zauważamy, że kolejne liczby różnią się o 5. 5 1 k + , gdzie k ∈ N , 5 5 5 1 6 k k + + = + , 5 10 5 1 11 k k + + = + .

3 2 k + – najmniejsza liczba 3 5 k + – druga liczba, 3 5 3 1 2 k k + = + ( ) + 3 8 k + – trzecia liczba, 3 8 3 2 2 k k + = + ( ) +

5 1 k + – najmniejsza liczba 5 6 k + – druga liczba, 5 6 5 1 1 k k + = + ( ) + 5 11 k + – trzecia liczba, 5 11 5 2 1 k k + = + ( ) +

Ćwiczenie 10. Zapisz trzy kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez: a) 3 dają resztę 1, b) 7 dają resztę 4.

30

3. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

Przykład 7. Wykaż, że suma czterech kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 8. Rozwiązanie

T ( teza ) : Suma 2 1 2 3 2 5 2 7 n n n n + + + + + + + jest podzielna przez 8.

Z ( założenie ) : 2 1 n + , 2 3 n + , 2 5 n + , 2 7 n + – cztery kolejne liczby naturalne nieparzyste.

Dowód: 2 1 2 3 2 5 2 7 n n n n + + + + + + + = = + = 8 16 n = ⋅ + ( ) 8 2 n . Liczba 8 2 ⋅ + ( ) n jest podzielna przez 8, bo jest iloczynem liczb naturalnych 8 i n + 2. c.n.u.

Wyłączamy liczbę 8 przed nawias.

Ćwiczenie 11. Wykaż, że suma pięciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 5. Ćwiczenie 12. Obok podana jest informacja o największej odkrytej na początku 2018 roku liczbie pierwszej. Sprawdź w internecie, czy w dniu, w którym czytasz to ćwiczenie, znaleziono już większą liczbę pierwszą. Jeśli tak, to ją podaj. 2 Algorytm Euklidesa AlgorytmEuklidesa służy do wyznaczania m.in. największego wspólnego dzielnika dwóch liczb naturalnych. Euklides urodził się około roku 365 p.n.e., zmarł około roku 300 p.n.e. Był greckim matematykiem pochodzącym z Aten, który przez większą część życia działał w sławnej Bibliotece Aleksandryjskiej. Jego dzieło Elementy stanowi syntezę ówczesnej wiedzy matematycznej. Przykład 8. Stosując algorytm Euklidesa, oblicz NWD liczb: a) 90 i 54, b) 816 i 700, c) 1261 i 936. Rozwiązanie a) 90 54 1 36 = ⋅ +

1 77 232 917 − to liczba, do której zapisu potrzeba 23 249 425 cyfr.

b) 816 700 1 116 = ⋅ + 700 116 6 4 = ⋅ + 116 4 29 0 = ⋅ +

c) 1261 936 1 325 = ⋅ + 936 325 2 286 = ⋅ +

54 36 1 18 = ⋅ + 36 18 2 0 = ⋅ + NWD 90 54 18 , ( ) =

325 286 1 39 = ⋅ + 286 39 7 13 = ⋅ + 39 13 3 0 = ⋅ + NWD 1261 936 13 , ( ) = .

NWD 816 700 4 , ( ) =

Page 1 Page 2 Page 3 Page 4 Page 5 Page 6 Page 7 Page 8 Page 9 Page 10 Page 11 Page 12 Page 13 Page 14 Page 15 Page 16 Page 17 Page 18 Page 19 Page 20 Page 21 Page 22 Page 23 Page 24 Page 25 Page 26 Page 27 Page 28 Page 29 Page 30 Page 31 Page 32 Page 33 Page 34 Page 35 Page 36 Page 37 Page 38 Page 39 Page 40 Page 41 Page 42 Page 43 Page 44 Page 45 Page 46 Page 47 Page 48 Page 49 Page 50 Page 51 Page 52 Page 53 Page 54 Page 55 Page 56 Page 57 Page 58 Page 59 Page 60 Page 61 Page 62 Page 63 Page 64 Page 65 Page 66 Page 67 Page 68 Page 69 Page 70 Page 71 Page 72 Page 73 Page 74 Page 75 Page 76 Page 77 Page 78 Page 79 Page 80 Page 81 Page 82 Page 83 Page 84 Page 85 Page 86 Page 87 Page 88 Page 89 Page 90 Page 91 Page 92 Page 93 Page 94 Page 95 Page 96 Page 97 Page 98 Page 99 Page 100 Page 101 Page 102 Page 103 Page 104 Page 105 Page 106 Page 107 Page 108 Page 109 Page 110 Page 111 Page 112 Page 113 Page 114 Page 115 Page 116 Page 117 Page 118 Page 119 Page 120 Page 121 Page 122 Page 123 Page 124 Page 125 Page 126 Page 127 Page 128 Page 129 Page 130 Page 131 Page 132 Page 133 Page 134 Page 135 Page 136 Page 137 Page 138 Page 139 Page 140 Page 141 Page 142 Page 143 Page 144 Page 145 Page 146 Page 147 Page 148 Page 149 Page 150 Page 151 Page 152 Page 153 Page 154 Page 155 Page 156 Page 157 Page 158 Page 159 Page 160 Page 161 Page 162 Page 163 Page 164 Page 165 Page 166 Page 167 Page 168 Page 169 Page 170 Page 171 Page 172 Page 173 Page 174 Page 175 Page 176 Page 177 Page 178 Page 179 Page 180 Page 181 Page 182 Page 183 Page 184 Page 185 Page 186 Page 187 Page 188 Page 189 Page 190 Page 191 Page 192 Page 193 Page 194 Page 195 Page 196 Page 197 Page 198 Page 199 Page 200

Made with FlippingBook - Online catalogs